Bonjour, j'ai les deux relations suivant : t(A) = A² (je note t la transposée) et je dois en déduire que A^3 = In
J'ai montré que det(A) = 1 et sp(A) = {1} mais malgré ces deux résultats plutôt fort je n'arrive pas à en déduire que A^3 = In .... merci

Sans hypothèse supplémentaire tu vas avoir du mal, vu que la matrice nulle satisfait ton hypothèse principale et ta conclusion.

Bah vu que t(0)=0² il nous faudra au moins une hypothèse supplémentaire que tu as omise

Bon j'ai été un peu maladroit mais on a A qui inversible (ce que je sous entendais très maladroitement que j'ai dit que det(A) = 1) mea culpa

oui enfin det(0) c'est pas 1 et le spectre de la matrice nulle est pas réduit au singleton {1} ?... (je m'adresse à hachino et limitx)

Le 21 mai 2017 à 21:28:44 MecaFlu a écrit :
oui enfin det(0) c'est pas 1 et le spectre de la matrice nulle est pas réduit au singleton {1} ?... (je m'adresse à hachino et limitx)

Ouais mais il dit avoir montré ca, donc il nous dit surement pas tout

Allez, petit indice : la transposée de la transposée est égale à la matrice de départ. Si tu transposes ton égalité fondamentale, tu obtiens quoi ?

Merci hachino, comment j'en déduis la nature géométrique de A ? Merci d'avance

Cherche parmi les transformations géométriques que tu connais (simples, de préférence) lesquelles ont une chance de revenir au point de départ en trois coups. Y'en a pas des masses.

Une Isometrie, merci

Ker(A^3 - I) = E donc par lemme des noyaux,on a la somme directe Ker(A-I)+Ker(A²+A+I) = E
J'appelle f l'endomorphisme canoniquement associé à A
On vérifie facilement que x€Ker(A²+A+I) => f(x)€Ker(A²+A+I) et que (x,f(x)) est libre en se souvenant que les valeurs propres de A sont réelles, ce qui nous permet de dire que la dimension de ker(A²+A+I) est paire.
Je pense qu'avec tout ça tu peux trouver la nature géométrique

J'espère que j'ai pas spoilé du coup

Le 21 mai 2017 à 22:48:30 Sureminence a écrit :
Ker(A^3 - I) = E donc par lemme des noyaux,on a la somme directe Ker(A-I)+Ker(A²+A+I) = E
J'appelle f l'endomorphisme canoniquement associé à A
On vérifie facilement que x€Ker(A²+A+I) => f(x)€Ker(A²+A+I) et que (x,f(x)) est libre en se souvenant que les valeurs propres de A sont réelles, ce qui nous permet de dire que la dimension de ker(A²+A+I) est paire.
Je pense qu'avec tout ça tu peux trouver la nature géométrique

On est obligé de passer par là ? Moi j'ai l'impression qu'en prenant juste la définition de la nature géométrique en question, j'ai directement la réponse

En fait je suis plus précis puisqu'en gros on va avoir que f dans une bonne base va ressembler à une matrice avec des 1 sur la diagonale (correspond à ker(f-id)) puis une diagonale de blocs 2*2 avec des matrices de rotation d'angle 2pi/3 si je dis pas de bêtise (j étant racine de x² + x + 1)

Ah oui je vois !