Bonsoir, ça doit être une question toute conne, mais du coup je bug sur un truc assez simple.

Prenons la série

$$x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}$$

Je veux étudier sa convergence normale sur ]0;+oo[. Je vais donc étudier la convergence de la série des sup sur ]0;+oo[

Soit n€N, on a alors

$$\mbox{sup}_{x\in]0;+\infty[}e^{-nx}=e^{0}=1$$

Donc la série des sup est en fait

$$\sum_{n=0}^{+\infty}1=+\infty$$

Donc la série des sup ne converge pas, donc la série ne converge pas normalement sur ]0;+oo[

Mais si maintenant je m'interroge à quel réel a dans ]0;+oo[ est optimal pour avoir la convergence normale sur [a;+oo[, je trouve que tout réel a>0 convient: c'est absurde, car pour moi il y a alors convergence normale sur ]0;+oo[ (c'est sans doute là mon erreur, j'imagine)

En effet, si a>0, alors e^a>1 donc e^(-a) < 1 Donc la série

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(e^{-a}\right)^{n}$$

converge, qui est la série des sup par décroissance de la fonction.

Merci d'avance.

En effet, la convergence normale sur [a,+oo[ pour tout a>0 n'implique pas la convergence normale sur ]0,+oo[.

Mais remarque que bien souvent la convergence normale sur tout compact est largement suffisante.

D'accord, merci !

Mais intuitivement, j'ai l'impression que si: c'est sans doute ma conception de la convergence normale qui ne va pas: que représente-t-elle "concrètement" ? Que traduit-elle ?

C'est pas tant ta conception de la convergence normale que le fait que les passages à la limite se déroulent rarement bien.

Ce qui fait marcher le contre-exemple c'est que la borne sur ]0,+oo[ n'est pas atteinte.

La convergence normale ça sert essentiellement à impliquer la convergence uniforme, qui est celle qui nous intéresse en général, puisqu'elle sert d'hypothèse à plusieurs théorèmes. Donc je le vois comme une convergence uniforme mais en mieux. J'avoue que j'ai pas tellement plus d'intuition que ça sur la convergence normale.

Dans le même genre t'as la série exponentielle, qui converge normalement, donc uniformément, sur tout compact, mais qui ne converge pas uniformément sur R.