Salut tout le monde, y'a un truc que je pige pas dans les matrices.

J'ai un exo avec cette matrice :

Déjà je dois calculer son déterminant, c'est :

(a-b)² [(a+b)² - 4]

Ensuite, je dois étudier le rang de la matrice en fonction de a et b, et en déduire quand est-ce qu'elle est inversible.
Dans notre cas, la matrice est inversible lorsque a =/= b et lorsque a+b =/= +2 ou -2.

Voilà mes questions :

1) Dans la correction, il est dit que si a=b ou a+b = 2 ou -2, det A = 0, mais que cela implique que le rang est =< 3. Pourquoi det A = 0 => rang A =< 3 ?

2) Ensuite, on calcule le cas où a=b, donc dans la matrice, tous les b deviennent des a.
Ensuite, c'est là que j'ai vraiment pas compris, on calcule le déterminant de la matrice :
qui vaut a²-1. Du coup, il faut regarder encore une fois quand est-ce que ce déterminant s'annule pour trouver le rang. Mais pourquoi avoir choisi une matrice 2*2 dans une matrice 4*4 ? J'ai cherché des explications sur internet, mais je n'ai rien trouvé là-dessus.

Merci de m'expliquer.

1) C'est le théorème du rang. On a rg(A) + dim ker(A) = 4. Si det(A) = 0, dim ker(A) >= 1 et donc rg(A) <= 3.

2) Je suppose que ça a un rapport avec la caractérisation du rang comme l'ordre du plus grand déterminant mineur non nul.

Le 15 mai 2017 à 11:02:54 Prauron a écrit :
1) C'est le théorème du rang. On a rg(A) + dim ker(A) = 4. Si det(A) = 0, dim ker(A) >= 1 et donc rg(A) <= 3.

2) Je suppose que ça a un rapport avec la caractérisation du rang comme l'ordre du plus grand déterminant mineur non nul.

Merci Prauron, j'avais pas du tout pensé au théorème du rang. Pour le déterminant mineur non nul, je viens de trouver une explication sur internet (le rang de la matrice est égal à l'ordre du plus grand mineur =/=0).