Bonjour,

Sur un exo à un moment j'ai besoin de faire une décomposition en élément simple. Voici le corrigé :

Seulement, quand j'ai :

$$\frac{1}{1-2xcos(a)+x^2}$$, je décompose : $$1-2xcos(a)+x^2 = (x-(cos(a)+sin(a)))(x-(cos(a)-sin(a)))$$

et donc à la fin je trouve :
$$\frac{1}{1-2xcos(a)+x^2} = \frac{1}{2} \times sin(a) \times (\frac{1}{x-(cos(a)+sin(a))} - \frac{1}{x-(cos(a)-sin(a))})$$

mais je ne vois pas comment faire avec les exponentielles complexes, comme dans le corrigé. En partant de l'expression finale trouvée et en se servant de la formule d'Euler, on se noie dans le calcul... Donc il doit y avoir un autre moyen plus simple, mais j'arrive pas à trouver lequel...

Un peu d'aide ?

Merci d'avance

On a $X^2 - 2\cos(a)X + 1 = (X - e^{ia})(X - e^{-ia})$ grâce à la formule d'Euler.

Donc $\frac{1}{X^2 - 2\cos(a)X + 1}$ se décompose sous la forme $\frac{c}{X-e^{ia}} + \frac{d}{X - e^{-ia}}$.
On trouve que $c = \frac{1}{X-e^{-ia}}$ évalué en $X = e^{ia}$, ce qui donne $\frac{1}{2i\sin(a)}$. De même, on trouve $d = \frac{1}{-2i\sin(a)}$.
Donc $$\frac{\sin(a)}{X^2 - 2\cos(a)X + 1} = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{X - e^{ia}} - \frac{1}{X - e^{-ia}}\right)$$

précisons d'ailleurs que ta décomposition est fausse, tu peux le tester pour x = 0