On dispose d'une urne avec $b$ boules bleues et $r$ boules rouges , à chaque tirage, un tire une boule , on la remet et on ajoute c boules de la meme couleur dans l'urne.

Soit $B_n$ l'événement " On tire une boule bleue au $n$ième tirage "

Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N} , P(B_n)=\frac{b}{b+r}$

Je le fais par récurrence forte , et je dis que sur les $n$ premiers tirages, la variable aléatoire associée au nombre de tirage d'une boule bleue suit une loi binomiale $B(n,\frac{b}{b+r})$

J'écris :
$$P(B_{n+1})=P_{B_n}(B_{n+1})P(B_n)+P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})P({\overline{B_n}})$$

Et pour $P_{B_n}(B_{n+1})$ je sépare les cas selon le nombre de boules bleues et rouge dans l'urne.
J'ai :
$$P_{B_n}(B_{n+1})= \sum_{k=0}^{n-1} P(X=k)\frac{b+(k+1)c}{b+r+nc}$$
$$P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})= \sum_{k=0}^{n-1} P(X=k)\frac{b+kc}{b+r+nc}$$

Bref avec ces formules je remplace le tout et avec quelques calculs trop chiants à écrire en Latex ( ) je tombe sur $ P(B_{n+1})=\frac{b}{b+r}+\frac{(n-1)rc}{b+r+nc} $

Je vois pas mon erreur, je pense pas que mon calcul soit faux c'est surement au niveau du raisonnement, mais je vois pas ou

Le nombre de boules bleues tirées ne suit pas une loi binomiale car les tirages de Bernoulli successifs ne sont pas indépendants (ils n'ont même pas nécessairement la même probabilité, qui dépend des tirages précédents). Tu peux t'en convaincre en examinant le cas simple b=r=1, c=2, n=2.

Ah j'ai oublié l'indépendance

Du coup comment je pourrais déterminer $P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})$ ? Raisonner le nombre de boules paraît trop compliqué sans loi "simple" mais je vois pas d'autres manières

De mémoire il fallait trouver une recurrence bien choisie et utiliser une formule de proba totale.7

Désolé mais ça m'aide pas vraiment

Aled

vous en êtes déjà au proba ?

vous avez finit tout le programme sauf les probas?

Il nous reste l'intégration, et là on est à la moitié du déterminant.

Il est si long à calculer ce déterminant?

C'est pas sympa de pas m'aider et de se foutre de ma gueule

Tu connais l'espérance conditionnelle ?

Je note $X_n$ (resp. $Y_n$) le nombre de boules bleues (resp. rouges) juste avant le n-ième tirage, et $t_n = b+r+(n-1)c = X_n+Y_n$ le nombre total de boule juste avant le n-ième tirage. Remarque que $X_n$ et $Y_n$ sont aléatoires mais pas $t_n$.

On fait une récurrence.
Par la formule des probas totales, on a :
$$P(B_{n+1}) = P(B_{n+1}\mid B_n)P(B_n) + P(B_{n+1}\mid R_n)P(R_n)$$
en notant $R_n$ l'événement "boule rouge au tirage $n$".
$$P(B_{n+1}\mid B_n) = \sum_kP(B_{n+1}\mid B_n,X_n = k)P(X_n = k)$$
$P(B_{n+1}\mid B_n,X_n = k) = \frac{k+c}{t_{n+1}}$ et on en déduit que
$$P(B_{n+1}\mid B_n) = \frac{E(X_n)+c}{t_{n+1}}$$
De même, on montre que
$$P(B_{n+1}\mid R_n) = \frac{E(X_n)}{t_{n+1}}$$
En utilisant l'hypothèse de récurrence, on en déduit que :
$$P(B_{n+1}) = \frac{E(X_n)+c}{t_{n+1}}\frac{b}{b+r} + \frac{E(X_n)}{t_{n+1}}\frac{r}{b+r}$$

Si on montre que $E(X_n) = \frac{b}{b+r}t_n$, cela fournit le résultat. Pour ça j'ai encore raisonné par récurrence en utilisant l'espérance conditionnelle (c'est pour ça que si tu l'as pas vue va falloir s'en passer).
On peut montrer que $$E(X_{n+1}\mid X_n = k) = k\frac{t_{n+1}}{t_n}$$ et on en déduit que
$$E(X_{n+1}) = \frac{t_{n+1}}{t_n}E(X_n)=\frac{b}{b+r}t_{n+1}$$
par hypothèse de récurrence.

J'ai commencé comme tu l'avais fait mais si on montre que $E(X_n) = \frac{b}{b+r}t_n$, y'a plus simple pour le début.

$$P(B_n) = \sum_kP(B_{n}\mid X_{n} = k)P(X_n=k) = \sum_k\frac{k}{t_n}P(X_n=k) = \frac{E(X_n)}{t_n} = \frac{b}{b+r}$$

ah d'acc

Ah c'est vraie que c'est plus simple de la deuxième manière

Merci en tout cas, t'as une idée de si on aborde l'espérance conditionnelle en prépa ?

Je sais pas, mais si c'est le cas je pense que c'est uniquement dans des cas simples avec des variables aléatoires discrètes.

Enfin là on peut s'en passer, on peut montrer directement que $E(X_{n+1}) = \frac{t_{n+1}}{t_n}E(X_n)$. Puis on en déduit que $E(X_n) = \frac{b}{b+r}t_{n}$ pour tout $n$, puis que $P(B_n) = \frac{b}{b+r}$.

La démo de $E(X_{n+1}) = \frac{t_{n+1}}{t_n}E(X_n)$ est un peu chiante à écrire si on veut le faire proprement, mais ça se fait. Faut partir de
$$E(X_{n+1}) = \sum_{l=0}^n(b+lc)P(X_{n+1}=b+lc)$$
Puis conditionner par rapport à $X_n$. Si $X_{n+1}=b+lc$, $X_n$ ne peut prendre que deux valeurs : $b+lc$ ou $b+(l-1)c$ (les cas $l=0$ et $l=n$ sont à traiter à part). En conditionnant tu fais apparaître des probas conditionnelles qui se calculent en fonction de $t_n$, de $b$, de $l$, de $c$, et des termes du type $P(X_n = ...)$ qui vont te faire apparaître $E(X_n)$.