Salut tout le monde

J'ai quelques questions à propos des démonstrations qui sont sur ce site :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/anabases/9_annexes/du_fini_a_linfini.pdf

Pour la propriété 1 :

- Pourquoi prendre m, qui est l'image de n+1 ? Je ne comprends pas l'intérêt de comparer m à q.
- Je ne comprends pas non plus pourquoi on attribue à g certaines valeurs, comment on les retrouve ? Je ne comprends pas du tout la partie si m =/= q.
De plus, pourquoi g est une bijection de A sur [|1 , q-1 |] ?

Pour la propriété 4 :

- Une fois de plus, je ne comprends pas pourquoi on a choisi l'application phi, et pourquoi phi est une bijection de E dans [|1 , p+q |].

Je vous remercie pour votre aide.

Le 30 avril 2017 à 14:02:48 Risitas1 a écrit :
Salut tout le monde

J'ai quelques questions à propos des démonstrations qui sont sur ce site :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/anabases/9_annexes/du_fini_a_linfini.pdf

Pour la propriété 1 :

- Pourquoi prendre m, qui est l'image de n+1 ? Je ne comprends pas l'intérêt de comparer m à q.

C'est une démonstration par récurrence, donc tu veux juste savoir ce qui se passe pour n+1, tu t'en fiches de ce qui se passe pour [| 1 ; n |], le "résultat" est déjà donné par l'hypothèse de récurrence.
Donc tu considères f(m+1).
Après, il s'agit d'une disjonction de cas:

- Je ne comprends pas non plus pourquoi on attribue à g certaines valeurs, comment on les retrouve ? Je ne comprends pas du tout la partie si m =/= q.

En gros, m=q est un cas "direct", facile à traiter. Et à partir de ce cas facile à traiter, on va comprendre comment traiter tous les autres cas.

De plus, pourquoi g est une bijection de A sur [|1 , q-1 |] ?

Donc, précisément, f(m) =/= q.
Donc on se rapporte au cas "m=q": Tu vas juste considérer [| 1 ; q+1 |] privé de f(n+1).
Si m=q, créer une bijection de [| 1, n |] vers [| 1 ; q+1 |] privé de f(n+1) est pas compliqué.
Et on fait pareil si m =/= q.
g est une bijection par définition d'une bijection, pas compliqué à vérifier.

Pour la propriété 4 :

- Une fois de plus, je ne comprends pas pourquoi on a choisi l'application phi, et pourquoi phi est une bijection de E dans [|1 , p+q |].

Pareil, tu veux créer une bijection pour montrer le résultat voulu, et on crée Phi de cette manière parce que E = (E-F)UF.

Tout élément de [| 1 ; p+q |] est pris une fois précisément, c'est une bijection. (parce que h et k le sont!)

Merci beaucoup pour ta réponse FunnySunnyDay.