J'ai une relation de récurrence de la forme $ d_{n+1} = (n+1)d_n+(-1)^{n+1}$ et $d_0 = 1$ Et il faut déterminer $d_n$ . Au pif je fais une analogie avec les suites arithmético-géométriques à coefficients constants mais ça marche pas, vous avez des indices ?

Étudie la fonction définie comme la somme de la série entière de terme général dn, en espérant qu'elle ait un rayon de convergence non nul.
C'est une méthode qui marche très souvent.

Il est en sup il connait pas les séries entière

Au fait il faut juste le montrer par récurrence mais je trouve ça frustrant

Tente de te ramener à une forme du type $d_{n+1}' = d_n' + e_n$, avec $d_n'$ défini à partir de $d_n$ et $e_n$ une nouvelle suite à déterminer. Pour ça, pense que la partie "dominante" de la relation de récurrence est dans les termes qui contiennent les termes de la suite, $d_{n+1} = (n+1)d_n$ ici.

Observe longuement cette relation simplifiée, qu'on va étudier dans un premier temps. Elle se résout assez bien et te donne $d_n = d_0 n!$. Bon, maintenant si tu définis $d_n' = \frac{d_n}{n!}$, avec la relation simplifiée tu obtiens bêtement $d_{n+1}' = d_n'$, donc $d_n' = d_0' = d_0$ et paf, fini.

Maintenant, on revient à la vraie relation et on applique les idées en voyant ce qui change. Posons encore uen fois $d_n' =\frac{d_n}{n!}$ et calculons. On a

$$d_{n+1}' = \frac{d_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)d_n + (-1)^n}{(n+1)!} = d_n' + \frac{(-1)^n}{(n+1)!}.$$

Dans le cas présent, ça te donne une expression de $d_n'$ sous forme de somme et tu retrouves $d_n$ avec une simple multiplication. Tu feras pas beaucoup mieux, je le crains.

C'est compris, merci Hachino !

Y a un théorème sur ce qui concerne la "partie dominante" ou c'est juste une idée qui marche assez souvent ?