Hey!
J'ai une question, si A est un ensemble CPA et B une partie (ouverte et fermée je sais pas si c'est utile) de A, alors la fonction caractéristique de B est continue sur A.

C'est probablement car A est CPA mais je vois pas pourquoi ... Et ces vraie pour toute fonction du coup ?

Vu que A est connexe, toute partie ouverte et fermée de A est soit A, soit l'ensemble vide. Le résultat est donc immédiat, et pas du tout généralisable (c'est faux en général, les fonctions caractéristiques sont typiquement discontinues aux frontières des ensembles).

En fait, je me suis mal exprimé. On cherche à montrer que B est soit A soit l'ensemble vide. On se sert donc de la fonction caractéristique en disant qu'elle est continue sur A.

(On sait pas encore si A est connexe)

Comment ça tu sais pas si A est connexe ? C'est quoi ton hypothèse de départ et ta question du coup ?

Le 24 avril 2017 à 15:43:00 Morphisme a écrit :
Comment ça tu sais pas si A est connexe ? C'est quoi ton hypothèse de départ et ta question du coup ?

Ben il veut montrer que connexe par arc implique connexe.

L'auteur, il faut utiliser le fait qu'une fonction est continue si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert et l'image réciproque d'un fermé est un fermé.

En particulier, une fonction caractéristique est à valeurs dans {0;1} donc il suffit de regarder les préimages de 0 et de 1.