Bonjour, j'ai trouvé cet exercice sur un site (alain.troesch.free.fr) que je n'arrive pas à résoudre

Exercice 24 – (ENS)
Soit A, B dans Mn(R) vérifiant AB = BA et det(A + B) > 0. Montrer que pour tout p ∈ N∗ , on a det(A^p + B^p) > 0.

L'indication dit de factoriser A^p+B^p avec les racines de l'unité mais je vois pas trop ce qu'il faut faire

Up

A^2+B^2=(A+iB)(A-iB)
A^3+B^3=(A+B)(A+jB)(A+j^2B)
...

Bonsoir,

par exemple dans le cas p = 2 :

det(A² + B²) = det[(A+iB)(A-iB)] = det(A+iB)×det(A-iB) = |det(A+iB)|² > 0

Dans le cas général, il suffit juste de regrouper les facteurs de la bonne façon.

D'accord merci je verrais ca !