Bonsoir, je me demandais comment on pourrait démontrer (ou infirmer ?) la conjecture suivante :

Soit n un entier positif, et u la suite définie avec $0 \leq k \leq n$ par $u_k = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$.
Si n est pair, alors le maximum de u sera $u_{\frac n 2}$ et si n est impair, les maximums de u seront $u_{\frac {n+1} 2}$ et $u_{\frac {n-1} 2}$

Si possible sans passer par la fonction gamma

En revenant à la définition avec un quotient de factorielles, tu te ramènes à étudier le minimum de $k!(n-k)!$ pour $k$ entre $0$ et $n$. Or, tu passes de $k!(n-k)!$ à $(k+1)!(n-k-1)!$ en multipliant par $\frac{k+1}{n-k+1}$. Cherche maintenant à quelle condition de quotient est plus grand (resp. plus petit) que $1$ et tu comprendras.