Salut,
On a E un IR-ev, et u un endomorphisme tel que u^3=u²
On veut montrer que Im u² et Ker u² sont supplémentaires
J'ai déjà montré que la somme est directe donc il me reste plus qu'à écrire x € E sous la forme d'une somme d'un élément de ker u² et de Im u²
Je sais que u^3-u²=0
u²(u-id)=0
u²(u(x)-x)=0 Donc u(x)-x € ker u²
Cependant j'aimerai trouver un élement de Im u² avec du u(x) pour pouvoir le retrancher mais je n'y arrive pas..
Est-ce la bonne manière de procéder?

Utilise plutot le fait que u^4=u^2

Ça partait pas trop mal,mais il y a quelques améliorations à apporter pour finir. Vu ce que tu as commencé à faire, si $u(x) - x$ est bien le morceau de $x$ qui doit tomber dans $Ker u^2$, le bout restant doit être égal à $u(x)$ et comme tu dis, tu n'arrives pas à montrer qu'une quantité dans ce genre est aussi dans $Im u^2$. (En fait c'est vrai, mais avec les outils dont tu disposes pour l'instant tu peux pas le voir.)

Donc, une petite idée consiste à changer la décomposition pour voir ce qu'il se passe avec $u^2$ plutôt que $u$. Écris $x = u^2(x) + (x-u^2(x))$ et observe. Le $u^2(x)$ est évidemment dans $Im u^2$, tandis que si tu calcules $u^2$ du deuxième terme, tu trouves
$$u^2(x-u^2(x)) = u^2(x) - u^4(x) = u^2(x) - u(u^3(x)) = u^2(x) - u(u^2(x)) = 0. $$

Rha ouai, super merci!

J'ai une autre question
Si Ker(u)=Ker(u²) alors u est un projecteur
Si u est un projecteur u rond u = u² =u
donc Ker(u)=Ker(u²) j'y suis allé à l'envers donc sa a l'air faux ..
J'hésite à y aller par l'absurde mais j'suis pas convaincu..

Tu prends n importe quelle endomorphisme u bijective qui n'est pas l'identité ker(u)=ker(u^2)={0} et ce n'est pas un projecteur.
Par exemple l'endomorphisme qui envoie e1 sur e1 et e2 sur 2e2 dans lR^2

Le 02 avril 2017 à 13:34:06 LimitX a écrit :
Tu prends n importe quelle endomorphisme u bijective qui n'est pas l'identité ker(u)=ker(u^2)={0} et ce n'est pas un projecteur.
Par exemple l'endomorphisme qui envoie e1 sur e1 et e2 sur 2e2 dans lR^2

Sauf qu'il s'agit de prouver que c'est un projecteur

Bah ça ne suffit pas comme hypothèse, à moins que tu travailles dans (Z/2Z) considéré comme (Z/2Z)-espace vectoriel, ce qui n'a pas l'air d'être le cas.

Le 02 avril 2017 à 13:40:46 LimitX a écrit :
Bah ça ne suffit pas comme hypothèse, à moins que tu travailles dans (Z/2Z) considéré comme (Z/2Z)-espace vectoriel, ce qui n'a pas l'air d'être le cas.

Tout ce que je sais c'est que E est un IR-ev , u un endomorphisme de E vérifiant u²=u^3
Et je dois prouver que Si Ker(u)=Ker(u²) alors u est un projecteur de E

Ah d'accord, tu reprends les hypothèses de départ.
Sers toi de la question précédente, elle n'est quand même pas anodine!

La question précédente est en fait, la suivante . Y'a vraiment pas moyen de s'en sortir par l'absurde?

Peut être mais à mon avis ce sera maladroit.
Il suffit de vérifier à la main que u et u^2 coïncident sur ker(u^2) et im(u^2)...

Le 02 avril 2017 à 13:53:17 LimitX a écrit :
Peut être mais à mon avis ce sera maladroit.
Il suffit de vérifier à la main que u et u^2 coïncident sur ker(u^2) et im(u^2)...

coïncident ?