Salut ,
Soit u un endomorphisme vérifiant u^2=u^3
Prouver que si ker(u) ={0} alors u=I
Par I j'entend l'identité
Si ker(u)={0} alors u injective
De plus il existe un x tel que u(u(u(x)))=u(u(x))
Par récurrence immédiate on a
u(x) = Ix=x comme u injective alors u=I
Sauf que j'ai l'impression de rien prouver en faisant ça..
On m'a conseillé aussi par l'absurde mais je vois pas comment faire

Tu as montré que u(x) = x donc c'est bien l'identité. En revanche sur la forme attention : c'est vrai pour tout x (pas de "il existe x tel que"), et pour la récurrence bof, l'exo est tellement simple que si tu explicites pas ton raisonnement autant dire "on voit directement que u = id"

D'accord merci bien. J'ai une autre question , il faut prouver que Ker(u-I)= Im(u^2) j'ai vraiment pas d'idées..

Bah déroule les définitions. Si $x$ est dans $Ker(u-I)$, alors $u(x) = ...$, puis $u^2(x) = ...$.
Réciproquement, si $y \in Im(u^2)$, alors $y = u^2(x)$ pour un certain $x$, donc...$u(y) = ...$.

u(x)=x
u(u(x))=u(x)
u^2(x)=x
Ainsi u(x)€Ker(u-I)
Réciproquement , si y €Im(u^2) alors y=u^2(x) pour un certain x
u(y)=u^3(x)=u^2(x)=x
Mais je ne sais pas quoi en conclure

Ainsi u(x)€Ker(u-I)

Non. Ta ligne du dessus monte que $x$ peut s'écrire comme un $u^2$ de quelque chose, il est donc dans $Im(u^2)$ par définition.

u(y)=u^3(x)=u^2(x)=x

Par $=x$ à la fin, mais $=y$ par définition de ce qu'est $y$. Tu as donc montré que $u(y) = y$, ou encore que $y \in Ker(u-I)$.

Moralité, sois un peu plus attentif en recopiant tes calculs et mets-toi dans le crâne les définition importantes (à commencer par ce que veut dire concrètement "être dans l'image de Machin").

Très bien j'ai tout compris merci bien !

tiens j'ai le même dm a la même date, tu serais pas en Prepa a Faid***** par hasard? ^^

cependant je ne parviens pas a depontrer ce que tu appelles ta "récurrence immédiate"...