Petite question sur les coniques, on nomme H l'hyperbole dont une équation est x^2-y^2 = 1 dans le repère affine orthonormé direct de somme (1,2) et de premier axe 2x+y-4 = 0. Je dois donner l'équation de H dans le repère canonique. A priori c'est du cours, mais j'ai pas la méthode. J'imagine que vu que le sommet est (1,2), je dois déjà avoir :

(x-1)^2-(y-2)^2 = 1, mais ensuite que faire avec l'équation du premier axe ?

Déjà fais un dessin.

Ton hyperbole a pour équation X² - Y² = 1 dans un repère R' (celui centré en (1,2)) qui est l'image du repère canonique R par une application affine f.
On a
$$\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix} + A\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$$

où $A$ est une matrice de rotation que je te laisse trouver (faudra utiliser l'image de (0,1) par f, que tu connais).

Une fois que t'as trouvé l'application $f$ qui à $(x,y)$ associé $(X,Y)$, trouve son inverse pour exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$, et remplace dans l'équation.

Le 31 mars 2017 à 23:33:36 Prauron a écrit :
Déjà fais un dessin.

Ton hyperbole a pour équation X² - Y² = 1 dans un repère R' (celui centré en (1,2)) qui est l'image du repère canonique R par une application affine f.
On a
$$\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix} + A\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$$

où $A$ est une matrice de rotation que je te laisse trouver (faudra utiliser l'image de (0,1) par f, que tu connais).

Une fois que t'as trouvé l'application $f$ qui à $(x,y)$ associé $(X,Y)$, trouve son inverse pour exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$, et remplace dans l'équation.

En fait ce que je comprends surtout pas, et c'est peut-être con, mais c'est quoi "de premier axe la droite d'équation 2x+y-4 = 0" ? J'ai pas trouvé la définition de "premier axe" d'un repère orthonormée direct dans mon cours, et j'ai aucune idée de ce que c'est....

Donc ça doit paraître con, mais de plus j'ai pas idée de l'image de (0,1) par f...

Le premier axe c'est l'axe des X tout simplement. L'image de (0,1) par f c'est (1,2) + le vecteur unitaire de cet axe justement.

Wow, y'a vraiment un truc que je capte pas... Déjà on a une droite affine 2x+y-4=0, et de l'autre côté je dois trouver un vecteur unitaire de cette axe (or un vecteur unitaire existe dans un espace vectoriel non ? pas affine) Et pourquoi l'image de (0,1) serait ça ?

J'suis perdu là...

Une droite affine c'est A + <v> avec <v> la droite vectorielle engendrée par le vecteur v. Là ce que je te propose c'est de trouver un tel v unitaire (unitaire parce qu'on te précise que ton repère est orthonormé).
Là ta droite affine c'est (1,2) + vect(1,-2), donc t'as juste à normer (1,-2).
Franchement fais un dessin des deux repères. Tu verras que R' c'est l'image de R par une rotation, suivie d'une translation de vecteur (1,2).

Merci Prauron des explications. J'étais crevée ici je captais plus rien je crois... Merci en tout cas, c'est bon !