Bonsoir, j'ai commencé à apprendre les bases concernant les équations différentielles mais il y a quelque chose que je n'ai pas vraiment saisi :
Si on a une équation différentielle (E) : y' = ay,
Alors les solutions seront de la forme y(x) = Ce^(ax) avec C € IR.
Néanmoins je suis incapable de trouver de démonstration formelle de cette affirmation, y'a-t-il quelqu'un qui pourrait m'éclairer ?

Le deuxième sens est le plus facile, suffit de remplacer, en revanche, pour le premier sens, tu poses une fonction g et tu suppose que c'est une solution.
Tu poses ensuite h(x) =g(x) e^(-ax), tu dérives h par rapport à x, tu en déduis qu'elle est constante et voilà le tour est joué.

Alors dans le sens y(x) = Ce^(ax) avec C € IR => y' = ay il suffit de calculer.

On suppose y telle que y'=ay. Posons h(x)=y(x)e^(-ax). On a h dérivable et h'(x)=y'(x)e^(-ax) - y(x)ae^(-ax) donc h'(x)=ay(x)e^(-ax)-ay(x)e^(-ax)=0 donc h est constante. Posons h(x)=C avec C dans IR. Donc y(x)e^(-ax)=C soit y(x)=Ce^(ax).

Ce que j'ai toujours aimé dans cette preuve c'est qu'on comprend pas vraiment pourquoi y a cette forme mais... ça marche

1) En divisant par y, ca donne y'/y=a, égalité que tu peux intégrer directement (une primitive de y'/y est le log de la valeur absolue de y)

2) y'-ay=0: on multiplie par exp(-ax), terme qui n'est jamais nul:
y' exp(-ax) - a y exp(-ax) = 0
Le terme de gauche est en fait la dérivée de y exp(-ax) (se vérifie directement en dérivant), ce qui permet de conclure

Une autre manière de rédiger que si f est une fonction dérivable,
f' + af = 0 ssi exp(ax)f'(x) + af(x)exp(ax) = 0
ssi d/dx [exp(ax) f(x)] =0
ssi il existe une constante C telle que exp(ax)f(x) = C
ssi il existe une constante C telle que f(x) = Cexp(-ax)

Je pense que c'est la manière la plus claire de voir d'où vient cette forme pour les solutions.
En plus on fait les deux sens d'un coup.

Oui, sauf si on est physicien

Le 01 avril 2017 à 23:29:03 Dagnyr a écrit :
Une autre manière de rédiger que si f est une fonction dérivable,
f' + af = 0 ssi exp(ax)f'(x) + af(x)exp(ax) = 0
ssi d/dx [exp(ax) f(x)] =0
ssi il existe une constante C telle que exp(ax)f(x) = C
ssi il existe une constante C telle que f(x) = Cexp(-ax)

Je pense que c'est la manière la plus claire de voir d'où vient cette forme pour les solutions.
En plus on fait les deux sens d'un coup.

Ouais retient ça.
En plus ça permet de retrouver en deux sec la solution particulière par methode de variation de la constante sans avoir besoin d'injecter et de faire tout le travail usuel.

Ok je crois que je comprends en fait, merci !