Salut à tous

Je relis mes cours sur les espaces vectoriels normés et j'ai une question sur le fameux Par Passage Au Supérieur:

Les conditions d'application de celui ci sont:

1) Il faut majorer par un majorant indépendant de x
2) Il faut vérifier la condition 1 pour tout élément de l'espace vectoriel demandé.

Néanmoins, dans mon cours j'ai ceci: Soit M un réel, pour tout x € A, si x <= M alors Sup(A) existe.

Ma question est: Majore t-on le VECTEUR x par M (ce qui semble absurde) ou sa norme par M?

Dans ce cas, doit-on écrire: M € R, pour tout x € A, N(x) <= M ?

Merci d'avance

Va falloir t'expliquer un peu plus précisément que ça parce que c'est pas clair du tout. On comprend à demi-mot que tu parles de borne sup, mais tu mélanges un peu tout (et l'expression "par passage au supérieur" n'est pas standard). Donc, tentons d'ordonner tut ce bazar.

1) On parle de borne sup, de borne supérieure ou de supremum, mais pas de "supérieur" tout court.
2) Le théorème qui t'intéresse affirme que toute partie majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne sup, il n'y a aucun espace vectoriel là-dedans.
3) Je passe sur le fait que nulle part tu ne définis qui sont $x$ ou $A$.
4) En effet, on ne majore pas des vecteurs par un scalaire, ça n'a aucun sens (les deux ne vivent pas dans le même ensemble).

Maintenant, essayons de deviner une rédaction potable.

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé, la norme étant notée $N$. Si il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in A$ $N(x) \leq M$, alors $\{N(x) | x \in A\}$ admet une borne supérieure.

C'est mieux ?

En effet, l’appellation "PPAS" vient de mon prof de math, ce n'est pas une appellation officielle, désolé.

Pour ce qui est du reste, tu as très bien résumé mon problème, j'ai rédigé ça à la vas-vite et je te remercie d'avoir fais l'effort de comprendre et d'apporter une réponse

Néanmoins, ce théorème est présent dans le chapitre de topologie, entre les normes et distances, ce n'est pas l'axiome de la borne supérieure qui m’intéresse mais plutôt dans les cas suivants:

Par exemple, on doit montrer que l'application N: R² -> R tq, pour tout (x,y) € R² , N(x,y) = Sup (expression qqe dependant de x et y) est une norme sur R.

Ce fameux PPAS intervient lorsque l'on doit montrer l'inégalité triangulaire, et j'ai répondu tout seul à ma question puisque l'on majore une norme ! Vois tu ce que je veux dire?

Vuais, à peu près, j'imagine que ta norme c'est quelque chose comme $N(x,y) = \sup(|x|,|y|)$ ?

Pas exactement mais c'est dans l'esprit

Merci encore!