Salut tout le monde, j'ai l'énoncé suivant :
Soit F le sev de R^4 engendré par u1=(1,2,3,1) u2=(1,1,2,0) u3=(2,2,1,3)
Donner une base de F.

Je vous envoie ce que j'ai fait. J'ai déjà montré qu'elle était libre donc que a=b=c=0. Merci à vous.

J'espère que vous pourrez me relire

Mon tél bug j'arrive pas à cliquer sur le lien.
Mais t'as une famille libre à 3 éléments dans R4.
C'est bien une base.

Oui c'est une base parce par définition c'est une famille génératrice de F.

Le 21 mars 2017 à 18:33:09 Prauron a écrit :
Oui c'est une base parce par définition c'est une famille génératrice de F.

Dac, mais est-ce que ma démarche était utile du coup? Je la mets quand même?

J'ai pas trop compris ce que t'as fait.

Mais une base de F c'est une famille libre qui est génératrice pour F (c'est-à-dire qui engendre F).
T'as montré que (u_1,u_2,u_3) est libre. Et elle est évidemment génératrice pour F puisque par définition F est l'espace engendré par (u_1,u_2,u_3). Donc t'as rien de plus à faire.

Oui tu as raison Prauron merci à toi.

J ai un exo aussi qui me dit :
Soit F sev de R^4 engendré par les vecteurs
U1=(1,1,2,1)
U2=(2,1,3,4)
Je dois donner un systeme d equations de F
C est juste dire que :
a+2b=0
a+b=0
2a+3b=0
a+4b=0

Ou il faut faire autre chose?

Soit F sev de R^4 engendré par les vecteurs
U1=(1,1,2,1)
U2=(2,1,3,4)
Je dois donner un systeme d equations de F

T'as deux vecteurs qui génère F, un s.e.V de R4.
Donc, en fait tu cherches
F = { (x,y,z,t) € R⁴ | équations = 0 }

U1 = (1,1,2,1)
Donc y+z+t-4x = 0. (2+1+1-4=0)
U2 = (2,1,3,4)
Donc y+z+t-4x = 0. (3+1+4-8 = 0)

T'as donc F = { (x,y,z,t) € R⁴ | y+z+t-4x = 0 }

Là t'as juste montré que F est inclus dans { (x,y,z,t) € R⁴ | y+z+t-4x = 0 }. Mais la réciproque est fausse, puisque { (x,y,z,t) € R⁴ | y+z+t-4x = 0 } est de dimension 3, alors que F est de dimension 2.
En fait il faut trouver un système de deux équations (car 4-2 = 2) de ce genre. T'en as déjà une, plus qu'à trouver la deuxième.

Si tu poses les vecteurs en colonnes que tu mets un vecteurs x1...X4.
Tu échelonnes en colonnes les deux puis tu échelonnes x1...X4
T'as un système à deux équations non ?

Le problème de la L1... Tu fais algèbre au début puis t'en vois plus pendant le s2 du coup, t'oublies tout.

(x,y,z,t) appartient à F si et seulement si il existe deux réels a et b tels que
a+2b = x
a+b = y
2a+3b = z
a+4b = t

En prenant par exemple les deux premières équations on obtient a = 2y - x et b = x - y.
En remplaçant a et b par ça dans les deux autres équations, on trouve
x+y-z = 0
3x - 2y - t = 0

Donc F est inclus dans l'ensemble des (x,y,z,t) tels que x+y-z = 0 et 3x - 2y - t = 0.
Réciproquement si (x,y,z,t) vérifient ces deux équations cartésiennes, il existe a et b tels (x,y,z,t) = a*u_1 + b*u_2 (il suffit de prendre a = 2y-x et b = x-y et vérifier que ça marche), donc (x,y,z,t) appartient à F.

J'ai pas vu le u3

Moi on m'a appris comme ça :

1 1 2 x1
2 1 2 x2
3 2 1 x3
1 0 3 x4

Échelonnzer par col + apres enlever en échelonant les x1/x2
Et finir avec deux équations

Pardon, j'ai mélangé les deux post de l'auteur du coup j'étais totalement embrouillé.
Voilà ce que je fais moi :
u1 (u2-u1) v
1 +0 x1
1 -1 x2
2 -1 x3
1 +2 x4

Donc j'echelonne v(x1...x4)
Avec u1
0
X2-X1
X3-2X1
X4-X1

Maintenant avec u2-u1

0
0
X3-2X1 - (X2-X1)
X4-X1 + 2(X2-X1)
D'où F :
-X1 - x2 + x3 = 0
-3x1 + 2x2 + x4 = 0