Salut, j'aurais besoin d'aide pour comprendre la résolution analytique de l'équation de transport

J'ai compris le pourquoi du changement de variable en u = x-ct mais pour les lignes suivantes (à partir de la dissociation de cas), je pige pas comment on arrive à ces résultats.

Si quelqu'un pouvait m'aider, merci

u(x,t) = u(x-ct,0) si l'onde se propage à la vitesse c = |c|
du coup pour x-ct > 0, tu peux bien dire que u(x,t) = u0(x-ct)
et pour x-ct < 0, tu utiles "l'inverse" : u(x,t) = u(0,t-x/c), donc...

merci

mais j'ai un vrai problème de compréhension à ce niveau là : pourquoi u n'est fonction que de l'espace quand x-ct>=0 et que du temps quand x-ct<0 ? (faut croire que j'ai pas si bien compris l'utilité du chgt de variable, apparemment c'est pour "suivre" l'évolution d'une quantité dans le temps)

c'est un truc du genre : quand x > ct la dimension "espace" est prédominante et quand x<=ct c'est la dimension "temps" qui l'est ?

Et j'arrive pas non plus à relier tout ça à l'edp de départ

les questions sont surement très connes mais c'est un bordel sans nom dans mon esprit

Y'a pas d'histoire de prédominance mais de direction de propagation. Imagine une corde rectiligne que tu secoues (si tu t'es déjà amusé à soulever puis reposer rapidement un grand tapis tu verras de quoi je parles). Le signe de $c$ t'indique dans quelle direction se propage l'onde que tu as créée en faisant le guignol avec ton tapis ou ta corde. Pour connaître l'état de t tapis à un endroit donné avant le passage de l'onde ($t < \frac xc$) tu as besoin de remonter le temps jusqu'à l'instant initial (d'où le $s = x-ct$) et d'utiliser l'info que tu avais à $t = 0$. Le $u_0$ représente l'état de ton tapis juste avant que tu ne le reposes.

Si c'est après le passage de l'onde ($t > \frac xc$), là il faut utiliser la guignolerie que tu lui as infligée (le pauvre), qui est représentée par la fonction $g$. Pour connaître l'état de ton tapis, il faudra alors remonter le temps jusqu'à l'instant correspondant au lancer de l'onde, d'où le $g(t-\frac xc)$. (Note que la fonction $h$ joue le même rôle que $g$ mais pour des ondes se propageant dans la direction opposée.)

C'est mieux ?

Très clair