1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810.
D810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90; 135; 162; 270; 405; 810}
2) Trouver tous les couples d’entiers naturels (x; y) qui vérifient :
x
2 = y
2 + 33
(x + y)(x − y) = 33
Comme x et y sont des naturels, on a x + y > x − y
De plus D33 = {1; 3; 11; 33}
Les deux systèmes possibles sont donc :
(
x + y = 33
x − y = 1
ou (
x + y = 11
x − y = 3
on obtient alors
(
x = 17
y = 16
ou (
x = 7
y = 4
S = {(17; 16); (7; 4)}
3) Trouver les entiers relatifs qui vérifient :
x
2 + 2x = 35
x(x + 2) = 35
Les seuls décompositions de 35 sont : 5 × 7, (−7) × (−5), 1 × 35, (−35) × (−1)
Les deux décompositions avec des entiers distants de deux sont : 5 × 7 et (−7) × (−5)
On obtient donc : x = 5 ou x = −7.
4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10.
Si n + 3 divise n + 10 alors ∃ k ∈ Z tel que : n + 10 = k(n + 3)
On a alors : n + 3 + 7 = k(n + 3) soit (n + 3)(k − 1) = 7
Donc n + 3 divise 7. On obtient alors :
n + 3 = −7 , n + 3 = −1 , n + 3 = 1 et n + 3 = 7 soit :
n ∈ {−10; −4, −2, 4}

C'est juste ?