Yo

J'ai un problème auquel je trouve pas de solution, et je pense que c'est dû à mon non skill mathématiques mais vu que ça concerne la physique aussi...
En physique des ondes on part souvent sur le modèle de l'onde plane progressive monochromatique (donc du type exp(i(kx - wt)) en 1 dimension). Seulement, l'onde plane n'est pas une onde physique (énergie infinie, spectre non continu et j'en passe) du coup on dit qu'en réalité on s'intéresse à un paquet d'onde, càd à un signal qui est du type somme continue sur k des g(k) exp(i(kx - wt)) [avec possiblement k = k(w)], ce qui explique donc l'intérêt de tout décomposer sous forme d'ondes planes. On s'attarde donc sur la TF d'une telle fonction g(k).
Seulement, dans certains effets (par exemple l'effet de peau ou le plasma) on arrive à des cas où k peut se retrouver imaginaire pur, voire complexe. Du coup quel est le sens de la TF à ce moment là, sachant qu'on intègre sur des k réels, et donc qu'on n'a plus la TF usuelle de g(k) mais plutôt celle de g(k)exp(-kx) si on écrit k = k' + i k...

Je suis pas sûr que ce soit un problème mais j'ai dû mal à m'imaginer pourquoi d'un coup ça changerait l'idée qu'on se fait de la TF...

Bon je voulais dire g(k)exp(-k"x) si on écrit k = k' + i k"

Et par ailleurs mon exemple n'est pas forcément pertinent en 1D ; en effet vu que k = k(w) on pourra me dire que la TF peut être faite sur w et du coup pas de soucis...
Mais en 2D, on a k = (kx, ky), et on peut choisir kx comme on veut ; la relation de dispersion donne juste une condition sur le module de k (et ky s'ajuste donc). Le problème est donc surtout en dimensions 2 et 3

Si j'ai bien compris ton problème, ça ne change formellement pas grand-chose : pour une classe de fonctions raisonnables, on peut étendre la TF à un paramètre complexe et non plus réel.

Exemple 1 : si ta fonction est 1D et spatialement supportée sur les $x$ positifs, on peut tranquillement calculer sa TF pour des $k$ vérifiant $\Im k < 0$ (on va multiplier par $e^{-ik"x}$, qui ne peut qu'améliorer la convergence de l'intégrale)..

Exemple 2 : pour une fonction à décroissance gaussienne (ou encore mieux, spatialement supportée dans un sous-ensemble borné de l'espace), on peut calculer sa TF pour n'importe quel complexe.

J'sais pas si ça t'éclaire tant que ça ?

Je savais pas qu'on pouvait étendre la TF, j'ai toujours vu ça sur R du coup j'ai cru qu'on faisait pas autre chose du coup pour toute fonction physique (ie pas trop louche/assez régulière) faire une TF avec k complexe marche, c'est bien ça?

Si oui c'est ok, j'avais juste un doute vu que je l'avais jamais vu mais il fallait se douter que des physiciens matheux y auraient déjà pensé