Salut, j'essaie de répondre au b) de cet exo :

J'ai à peu près une solution mais j'ai pas justifié le point crucial, et j'ai besoin d'aide pour justifier ce passage douteux du coup

Bon déjà ça revient à montrer que l'intégrale de (f(x)/f(0))^nsqrt(n)dx entre -1 et 1 tend vers sqrt(2pif(0)/|f^(2)(0)|)
En faisant en DL en 0 de f, j'ai f(x)=f(0)+f^(2)(0)x^2/2 + o(x^2) (vu que f a un max en 0)

En remplaçant f(x) par son DL dans l'intégrale (c'est ça que je vois pas comment justifier) et en faisant le changement de variable conseillé je trouve l'intégrale des (1+u^2f^(2)(0)/(2n))^ndu entre -sqrt(n) et sqrt(n), et vu que l'intégrande a le bon goût de tendre vers exp(machin*u^2), sous réserve que je puisse justifier l'interversion limite-intégrale (ça marche bien avec le théorème de CVD sauf erreur) je peux obtenir le résultat voulu en me ramenant à une intégrale de Gauss

Merci

(Mais du coup jvois pas le lien avec le a) en fait)

Euh dans la b) l'équivalent est quand n tend vers +oo non ?

Oui sinon ça veut rien dire

$$\int_{-1}^1f(x)^ndx = \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt{n}}f\left(\frac{u}{\sqrt{n}}\right)^ndu = \frac{f(0)}{\sqrt{n}}^n\int_\mathbb{R}\left[\frac{f\left(\frac{u}{\sqrt{n}}\right)}{f(0)}\right]^n1_{[-\sqrt{n},\sqrt{n}]}(u)du$$

Puis avec un DL on montre que pour tout $u$,
$$\left[\frac{f\left(\frac{u}{\sqrt{n}}\right)}{f(0)}\right]^n$$ converge vers
$$\exp\left[-\frac{|f''(0)|}{2f(0)}u^2\right]$$

Il reste donc à appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions :
$$g_n(u) = \left[ \frac{f\left(\frac{u}{\sqrt{n}}\right)}{f(0)} \right]^n 1_{[-\sqrt{n},\sqrt{n}]}(u)$$
C'est là qu'intervient la première question.
Puis utiliser le rappel sur l'intégrale de Gauss.

Heureusement qu'il y a la fonction edit.

C'est joli.

Merci