Application g de Rn[X] dans Rn[X]
g: (X^2+1)P(1)+(X^2-1)P'(1)
Bases du noyau de g et de l'image de g
Et Rn[X]=somme directe (image + noyau) ?

Je ne sais pas par où démarrer, merci de m'aider

ben cherche le noyau. quels sont les P tels que g(P) = 0 ?

J'ai une equa diff mais cela me paraît "bizarre" dans un tel exercice
Je ne vois pas

y'a pas d'équadiff, P(1) et P'(1) sont juste des nombres

mais sinon c'est pas forcément bizarre d'avoir une équa diff sur ce genre de problèmes, ça peut être courant au contraire. c'est pas parce que tu fais de l'algèbre que tu auras pas besoin d'analyse au bout d'un moment

Merci de votre réponse
Le noyau doit s'exprimer en fonction de X ou de P?
Je ne sais pas

tu prends P dans le noyau de g, tu as donc g(P) = 0, càd (X^2+1)P(1)+(X^2-1)P'(1) = 0.
or ici ce qu'on entend, quand on dit que g(P) = 0, c'est qu'il est nul "pour tout X". vu qu'un polynôme est nul partout si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, il faut chercher à annuler ce qu'il y a devant chaque monôme. tu tombes alors sur un système (totalement indépendant de X, mais qui porte visiblement sur P) qu'il faut résoudre!

On a P(1)=0=P'(1)
C'est ça ?

Oui c'est ça. Et donc comment s'écrivent les polynômes de ker g ?

P(1) et P'(1) ?
Et pour l'image?

P(1) et P'(1) ne sont pas des polynômes, ce sont des réels. et on ne sait pas ce qu'est P!

non, il faut se dire que, vu tes réflexions précédentes, un polynôme P est dans le noyau de g dès que P(1) = 0 et P'(1) = 0

P(1) et P'(1) ?

Qu'est-ce que tu veux dire par là ? On te demande une base de ker g, donc une famille de polynômes.
(P(1),P'(1)) ne constituent pas une base de ker g.

Je ne sais pas comment on peut en déduire une base
Ce sont les Polynômes de degré >ou= à 2 avec P(1) et P'(1) nuls

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