Si E est un K-ev, g un automorphisme de E, F un sev de E stable par g.

Est-ce que F est stable par g^-1 ?

J'arrive pas à y répondre

Supposons F non stable par g^-1
Soit y dans F tq g^-1(y) pas dans F
Alors g(g^-1(y)) = y est pas dans F
En effet, si tu prends H supplémentaire de F dans E, alors g^-1(y) = f + h
Mais si y dans F alors g(h) = 0 ce qui contredit la bijectivité

T'as pas besoin de faire par l'absurde.

Soit y dans F, et g^(-1)(y) = f + h. Alors y = g(f) + g(h). Comme g(f) appartient à F, alors g(h) = 0 et comme g est injective, h = 0, et donc g^(-1)(y) = f appartient à F.

Pourquoi g(h)=0 ?

Oui t'as raison y'a pas de raison. Il faudrait que g(h) appartiennent à H mais a priori H n'est pas stable par g.

J'ai vu ton message, j'ai réussi à trouver une réponse dans le cas où E est de dimension finie :

Si dim E appartient à N, la restriction de g sur F est encore injective. Or, cette restriction va de F dans F, qui est de dim finie, donc bijective.

Pour le cas général je bloque

Oui j'ai cru que j'avais un contre-exemple mais évidemment il marchait pas.

Je demanderai à mon prof demain

C'est faux si F est de dimension infinie

Prendre E l'ensemble des suites indexées par Z
g l'application qui à (x_n) associe (y_n) définie par y_n=x_(n-1)
F l'ensemble des suites (x_n) valant zéro pour n<0

On vérifie que E est bien un R-ev, g est un automorphisme... On a bien g(F) inclus dans F, mais la réciproque est fausse

Voilà

J'avais pensé au même genre de truc mais avec R^N, pas pensé à R^Z.