Soit f de R dans R une fonction continue tel qu'il existe a dans R tq f(f(a))=à.
Montrer qu'il existe un point fixe.
Une idée pour aborder le truc ?

On peut construire une infinité de point de la sorte si on obtient pas de point fixe entre eux.

Genre f(f(f_n fois(a)))=f_n fois (a) pour tout n dans N. Ça nous fait une infinité de points si on a pas de point fixe

En fait géométriquement c'est évident, si l'image de a est sous la première bissectrice, alors l'image de l'image de a est au dessus et inversement. Donc ça doit la couper à un moment

C'est bon en fait.
On pose f(à)=b.
On suppose b>a sans perte de généralité.
Soit G(X)=f(X)-x
g(à)=b-a>0
G(b)=a-b<0
Puis tvi

Merci de votre aide, à plus

Wat
G et g c'est les memes fonctions ?
a et à c'est les memes variables ?

Oui j'suis sur mobile le correcteur automatique change les machins tout seul c'est pète couille

Y a aussi f(f(a))-a=f(f(a))-f(a) + f(a)-a=0

Donc f(f(a))-f(a) et f(a)-a sont de signe opposé (éventuellement nuls tous les deux) donc d'après le TVI f-id s'annule entre a et f(a)

Le 16 février 2017 à 13:34:54 Bahar a écrit :
Y a aussi f(f(a))-a=f(f(a))-f(a) + f(a)-a=0

Donc f(f(a))-f(a) et f(a)-a sont de signe opposé (éventuellement nuls tous les deux) donc d'après le TVI f-id s'annule entre a et f(a)

Joli

Astucieux.

Pas mal

Un autre :
F:[0,1] dans R continue tq f(o)=f(1).
Soit n dans N supérieur ou égal à 2. Mq il existe c dans [0,1-1/n] tq f(c)=f(c+1/n).

Le 16 février 2017 à 13:34:54 Bahar a écrit :
Y a aussi f(f(a))-a=f(f(a))-f(a) + f(a)-a=0

Donc f(f(a))-f(a) et f(a)-a sont de signe opposé (éventuellement nuls tous les deux) donc d'après le TVI f-id s'annule entre a et f(a)

Le tvi est appliqué a quelle fonction ?

Calmes vous les gars, j'ai juste utilisé la technique du "+a-a", y a que ça de vrai en sup

Et le TVI je l'applique à f-id (ou f(x)-x si tu préfères )

Pour l'autre exo on peut appliquer une astuce similaire

f(0)-f(1) = f(0)-f(1/n) + ... + f((n-1)/n)-f(1) = 0

Donc il y a des f(i)-f(i+1/n) positifs et d'autres négatifs

Et TVI sur x|-->f(x)-f(x+1/n)

Le 16 février 2017 à 13:44:03 CicatriceGamer a écrit :
Pas mal

Un autre :
F:[0,1] dans R continue tq f(o)=f(1).
Soit n dans N supérieur ou égal à 2. Mq il existe c dans [0,1-1/n] tq f(c)=f(c+1/n).

La chancla je l'ai eu en colle

Soit G: x -> f(x) - f(x+ 1/n)
On calcule la somme des k variant de 0 a n-1 des G(k/n) qui est nulle (avec l'hyp f(0)=f(1))
On suppose que G ne s'annule pas sur I
Alors G est de signe constant sur I d'apres le TVI
Donc |G(x)| > 0 pour tout x dans I donc la somme aussi
Or la somme des G(k/n) = 0
Par l'absurde on deduit que G s'annule sur I
Puis vu que G est continue, on applique le TVI

C'est quoi cette astuce miraculeuse là. Tu peux prouver le théorème de Fermat aussi avec ?

Sinon après on demande si le résultat reste vrai en remplaçant 1/n par un réel quelconque de 0,1 ouvert. On n'utilise pas vraiment le fait que ça soit un 1/n, si ?

Euh si, parce que si le réel est irrationel on peut plus utiliser cette technique

C'est certainement faux parce que je connais un exo dont l'énoncé commence par "Soit f continue sur [0,1] telle que pour tout x dans [0 , 7/10], f(x)=/=f(x + 3/10)"

avec le réel 3/10 ça devrait donc pas marcher..

Reste à trouver un contre exemple