salut, dans un exo d'info on me dit que si f est une permutation de E_n = [[0, n-1]], alors f^(n!) est l'identité de E_n.
je n'ai pas réussi à trouver de telle propriété ou de démo sur internet donc je voulais juste savoir : est-ce que la réciproque est vraie ?

Pour un groupe de cardinal a, tout element f du groupe verifie f^a=e avec e l'element neutre
Ici e=id et a=n!

d'accord ça je comprends bien que f^(n!) = Id dans le groupe des permutations, mais pourquoi est-ce que ça marche dans l'autre sens ? (si f^(n!) = Id alors f est une permutation de {0, ..., n-1})

Bah précise le hypothèses.
Soit n entier positif donné, je prends l application qui va de lN dans lN qui fait un cycle sur n! entiers consécutifs, on a bien évidemment f^(n!)=Id(lN) et f n'est pas une application d un groupe symétrique fini.
Cependant un tel f sera toujours bijectif : pour tout p entier naturel f^p=Id => f bijectif tout simplement à cause de la propriété suivante :
Si f o g est injective, g l'est.
Si f o g est surjective, f l'est.

désolé je n'ai peut être pas été très clair, f est une application de [[0, n-1]] dans [[0, n-1]]

Le 14 février 2017 à 17:13:00 Limitx a écrit :
Cependant un tel f sera toujours bijectif : pour tout p entier naturel f^p=Id => f bijectif tout simplement à cause de la propriété suivante :
Si f o g est injective, g l'est.
Si f o g est surjective, f l'est.

ah oui d'accord tout simplement
merci

Encore plus rapide : f est inversible d inverse f^(n!-1)