En cours d'EDP on parle de formulation faible, mais on a pas fait de cours entier sur les distributions, du coup la définition des espaces de Sobolev me laisse perplexe.
On a défini $H^1$ comme le sous-espace de $L^2$ des fonctions à dérivées faibles dans $L^2$, ce qui m'embête beaucoup c'est l'identification duale entre une distribution et la fonction don't elle duale (si cette dernière existe).
Si on prend une distribution $T$ telle qu'il n'y ait pas de $f$ telle que :
$<T,\phi> = \int_{\Omega} f\phi$ pour tout $\phi \in C^{\infty}_{c}(\Omega)$
Par exemple le Dirac, alors ça ne fait aucun sens de dire qu'une telle chose est dans un $L^p$
Pourquoi est-ce qu'on fait une identification alors qu'on a pas de surjectivité ?
Dans un exo on demandait si la fonction de heaveside était dans $H^1$, mais ça n'a aucun sens puisque sa dérivée faible n'est pas une fonction.. (en plus elle même était pas dans $L^2$ dans le cas de l'exo )

Regarde là, ça t'éclairera peut-être :
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Alexandre.Munnier/files/cours_edp.pdf (page 19)

D'après ce que je comprends, $u$ est dans $H^1$ si elle est ses dérivées peuvent être représentées (par dualité), par des fonctions $L^p$.
Donc s'il existe une fonction $f$ telle que $<u,\phi> = \int f\phi$ pour tout $\phi$ fonction test et s'il existe une fonction $g$ telle que $<u',\phi> := -<u,\phi '> = -\int g\phi$, pour toute fonction test $\phi$.

Du coup le Dirac est pas dans $L^2$ puisqu'il n'existe pas de fonction $f\in L^2$ telle que pour tout fonction test $\phi$, $\phi(0) = \int f\phi$.

avec $f$ et $g$ dans $L^2$ je voulais dire.

Hop hop hop, le théorème de Lax-Milgram ne va pas s'appliquer tout seul

Ça sent les éléments finis tout ça

Chez les gens civilisés, les éléments finis n'existent pas.

Les EDP non plus d'ailleurs.

Groumph.

C'est pas la même déf qu'on nous a donné du coup,par ailleurs la question du TD ne faisait donc aucun sens si on ne définit pas les choses correctement.