Bonjour,
On a
T application linéaire avec T=intégrale de 0 à 1 (Min {x;y} f(y))dy
f fonction continue et définies sur [0;1] à valeurs dans R
x et y compris entre 0 et 1 inclus

Trouver Ker T et dire si T est injective

On a T=0 si x et y valent 0 ou si f(y)=0

C'est ça?

si T est bien une fonction de x (tes notations sont foireuses), c'est une condition sur x que tu dois trouver

Sur x ou sur y?
x est compris entre 0 et 1

Ta condition sur Ker T ne peut pas dépendre de y, c'est une variable muette...

Donc Ker T ne dépend pas de y donc T ne dépend pas de la fonction f(y)
Ainsi Ker T dépend uniquement de la valeur de x et Ker t vaut 0 si et seulement x=0
C'est ça ?
Que dire de l'injectivité?

On a trivialement $T(f)(x)=\int_0^x yf(y)dy +x\int_x^1 f(y)dy$.

Si $T(f)=0$, alors la fonction $x\mapsto \int_0^x yf(y)dy +x\int_x^1 f(y)dy$ est identiquement nulle.

Cette dernière fonction est $C^1$, et comme elle nulle, sa dérivée est nulle, ce qui s'écrit $\forall x, \int_x^1 f(y) dy=0$.

Avec le même argument, en dérivant $x\mapsto \int_x^1 f(y) dy$ on tombe sur $\forall x, f(x)=0$ d'où l'injectivité

Meme si la présentation n'est pas bien passée, je comprends l'idée et j'avais dérivé j'ai la même chose
Pour M sev de l'ensemble des fonctions continues et définies sur [0;1] on a la fonction m de classe C2 sur [0;1] avec m(0)=0 et m'(1)=0
Montrer que m admet un seul antécédent par T ? Lequel?
+ Im (T) Et T surjective?

Il est trivial de vérifier que $T(-m'')=m$. L'antécédent est unique car $T$ est injective.

Il est aussi trivial de montrer que l'image de $T$ est inclue dans l'ensemble des fonctions $C^2$ nulles en $0$ et de dérivée nulle en $1$.

Avec ce qui vient d'être prouvé au dessus, on a l'égalité.

Une nouvelle fois merci
en ce qui concerne les dérivées successives j'ai les résultats satisfaisants
Pour l'antécédent il s'agit donc de -m" ??
Je cherche Im (T) il s'agit de l'ensemble M?
T est par conséquent surjective
Est ce bon?
On a • un réel non nul T• est un endomorphisme de l'ensemble des fonctions continues et définies de [0;1]. ensemble que l'on note A
T• = T-Id(A)
On a f appartenant à Ker(T.) comment mettre en place une equa diff d'ordre 2 avec f(0) (=0 je suppose) et f'(1)=0
Montrer que Ker(T•) est le singleton zéro

S'il vous plaît

Please