Salut,

issu d'une olympiade slave :
Montrer que pour tout réel x dans l'intervalle [2 , 22], il existe une infinité d'entiers n pour lesquels la partie entière de n*pi/3 est une puissance de x

Je n'ai pas de solution, mais ce qui m'intrigue c'est l'intervalle dans lequel on restreint x. Je me demande si le 22 est une fausse borne (comme dans les exercices du type "on considère 2017 points du plan ...") ou pas. Bon pour ça faudrait une démo... si vous avez des idées, j'y réfléchis de mon côté.

Bonne soirée.

Je regarderai plus tard, par contre tu peux check tes MPs?

Le 12 janvier 2017 à 21:07:27 Vistiche a écrit :
Bonne soirée.

Je regarderai plus tard, par contre tu peux check tes MPs?

Je te retourne la question!

Ah oui je l'avais mis dans la corbeille sans faire exprès

T'es sûr que c'est tout réel dans 2,22 et pas tout entier dans 2,22 ?

Non bien sûr c'est entier puisque c'est la partie entière qui doit être une puissance de x. Désolé je ne peux plus éditer le post d'origine.

pi / 3 = 1,04... donc on voit bien que dans la suite des n*pi/3 on va croiser presque tous les entiers (virgule quelque chose), à part quelques un qui sautent de temps en temps. Donc il faudrait voir pourquoi si on rencontre une puissance de x alors on va nécessairement en rencontrer une autre plus tard et non pas sauter toutes les suivantes.

Ceci étant dit, toujours pas de borne 22 à l'horizon, au contraire j'ai l'impression qu'elle n'a rien à faire là.

Le 22 c'est 22/7 qui sait

Bonsoir messieurs, et pourquoi pas montrer que pour une infinité de n :

[[x^n × 3/pi] × pi/3] = x^n avec [...] la partie entière

pas sûr que ce soit vrai, à voir, et pas de 22 en vu non plus.

Klaus

merci pour la piste qui semble assez naturelle, je vais voir à coup d'inégalité ce que ça donne.