En fait dans les exos qu'on a fait, un moment le prof dit que e^(-t²) / t² est intégrable quand t tend vers + l'infini. Je sais pas d'où ça sort.
Parce que je veux bien que 1/t² et e^(-t²) soient tous les deux intégrables en + l'infini, mais est-ce que le produit sera aussi intégrable ? Ou bien il utilise le fait qu'un polynôme est négligeable par rapport à l'exponentielle qui, ici est intégrable ?
Et autre question, on peut utiliser le fait qu'un polynôme soit négligeable par rapport à l'exponentielle peu importe vers quelle limite ?
Beaucoup de questions, merci à ceux qui prendront la peine de répondre.

t²*(e^(-t²))/t² -> 0 en + infini
donc e^(-t²) = o(1/t²)
donc la fonction est intégrable en + infini

ou bien encore e^(-t²) <= e^(-t²)/t² pour t >=1... et e^(-t²) intégrable donc la fonction est intégrable en + infini

Csamy,je crois que ton second argument ne tient pas.

L'inégalité est vraie mais ne permet pas de conclure.Elle l'aurait permis si c'était le contraire mais c'est pas le cas.

Il s'est juste planté de sens, c'est une faute de frappe. Il fallait lire $\frac{e^{-t^2}}{t^2} \leq e^{-t^2}$ pour $t \geq 1$.

En gros, on prend f(t) = (e^(-t²))/t²
g(t) = 1/t²
Et comme f/g tend vers 0 quand t tend vers + l'infini, et que de plus, g est intégrable en + l'infini, alors f le sera aussi ?

D'accord j'ai compris merci ! Mais du coup si on fait la même chose mais en 0, ça donnera quoi ?
Par exemple si on étudie l'intégrale de 0 à + l'infini de e^(-t²)/t² dt, on vient de voir là qu'en + l'infini c'est intégrable, mais en 0 ?
En 0 on peut dire que c'est équivalent à 1/t² aussi non ? Comme e^(-t²) tend vers 1 quand t tend vers 0. Du coup, comme 1/t² n'est pas intégrable en 0, l'intégrale ne sera pas convergente, c'est ça ?

En 0 on peut dire que c'est équivalent à 1/t² aussi non ? Comme e^(-t²) tend vers 1 quand t tend vers 0. Du coup, comme 1/t² n'est pas intégrable en 0, l'intégrale ne sera pas convergente, c'est ça ?

Tout pile Émile.

Le 05 janvier 2017 à 21:03:56 Hachino a écrit :

En 0 on peut dire que c'est équivalent à 1/t² aussi non ? Comme e^(-t²) tend vers 1 quand t tend vers 0. Du coup, comme 1/t² n'est pas intégrable en 0, l'intégrale ne sera pas convergente, c'est ça ?

Tout pile Émile.

Ok donc j'ai compris en grande partie je pense, merci à vous