Bonjour tout le monde, je suis en Master de Maths, et suis bloqué devant l'exercice suivant,
(1)Démontrer que le groupe (Aut(Z/nZ),◦) des automorphismes d’un groupe cyclique Z/nZ
est isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ)× des unités de Z/nZ.
(2) En déduire que l’action d’un groupe à 9 éléments sur un groupe à 89 éléments est toujours
triviale.
(3) Que disent les théorèmes de Sylow sur les sous-groupes de Sylow d’un groupe à 801 = 9×89 éléments ?
(4) Déduire des questions précédentes qu’un groupe à 801 éléments est isomorphe au produit direct de ses sous-groupes de Sylow.
j'ai fait les questions 1 et 3, mais pour les autres je n'y arrive pas, auriez vous une idée?
Merci d'avance

Pour la 2 tu utilises la 1, ton action de groupe étant un morphisme d'un groupe à 9 éléments dans le groupe des automorphismes de Z/89Z (seul groupe à 89 éléments vu que 89 est premier). Le premier théorème d'isomorphisme te permet de conclure via des arguments de divisibilité.

merci!
mais je ne comprend pas ce qu'on entend par "triviale" et pourquoi est-ce qu'une action est un morphisme ?
Dans le cours on a pour définition d'une action de groupe:
une application . de G*X dans X qui vérifie: e.x=x et g.(f.x)=(gf).x
ça serait donc un morphisme de quoi dans quoi ?

Une autre façon de voir la définition est que pour tout g dans G, tu as défini une bijection phi_g de X->X par x->g.x (on vérifie facilement que c'est une bijection).
On remarque alors que l'application g->phi_g de G dans S(X) (le groupe des bijections de X->X) est un morphisme.
Quand on parle de morphisme "trivial", on entend généralement le morphisme nul, qui envoie tout le groupe de départ vers l'élément neutre d'arrivée. Ici, c'est l'action qui envoie tout élément de G vers l'identité, ie telle que g.x=x pour tous g,x.

Par contre la question n'est pas bien posée car il existe des morphismes non triviaux d'un groupe de 9 éléments vers S_89 (vu qu'il existe des sous-groupes de S_89 de cardinal 9, cf. Sylow), je pense que la question se formule plutôt : "en déduire que tout morphisme d'un groupe à 9 éléments vers Aut(Z/89Z) est trivial", et c'est la question à laquelle j'ai répondu dans mon premier message

(S_89 désigne évidemment le groupe symétrique d'un ensemble à 89 éléments.)

D'accord, merci pour votre réponse,
Mais donc il faudrait écrire quoi exactement ? (je 'ai eu que très peu de cours sur ces notions donc ne suis que très peu a l'aise)
Merci d'avance

Le 31 décembre 2016 à 15:28:22 Morphisme a écrit :
Une autre façon de voir la définition est que pour tout g dans G, tu as défini une bijection phi_g de X->X par x->g.x (on vérifie facilement que c'est une bijection).
On remarque alors que l'application g->phi_g de G dans S(X) (le groupe des bijections de X->X) est un morphisme.
Quand on parle de morphisme "trivial", on entend généralement le morphisme nul, qui envoie tout le groupe de départ vers l'élément neutre d'arrivée. Ici, c'est l'action qui envoie tout élément de G vers l'identité, ie telle que g.x=x pour tous g,x.

Par contre la question n'est pas bien posée car il existe des morphismes non triviaux d'un groupe de 9 éléments vers S_89 (vu qu'il existe des sous-groupes de S_89 de cardinal 9, cf. Sylow), je pense que la question se formule plutôt : "en déduire que tout morphisme d'un groupe à 9 éléments vers Aut(Z/89Z) est trivial", et c'est la question à laquelle j'ai répondu dans mon premier message

(S_89 désigne évidemment le groupe symétrique d'un ensemble à 89 éléments.)

L'énoncé parle d'"action sur un groupe", donc il est assez raisonnable de se dire qu'on comprend une action de groupe qui respecte la loi de groupe de l'ensemble d'arrivée, ce qui se traduit bien par un morphisme vers Aut(Z/89Z) plutôt que vers S_89.

Le 04 janvier 2017 à 18:27:49 pianiste2a a écrit :
D'accord, merci pour votre réponse,
Mais donc il faudrait écrire quoi exactement ? (je 'ai eu que très peu de cours sur ces notions donc ne suis que très peu a l'aise)
Merci d'avance

Par exemple :
89 est premier, donc un groupe G à 89 éléments est isomorphe à Z/89Z. Sans perte de généralité, on suppose que G=Z/89Z.
Avec la question 1, Aut(G) = (Z/89Z)* et a donc 88 éléments.
Soit F un groupe à 9 éléments, une action de F sur le groupe G induit un morphisme phi de F vers Aut(G).
Alors l'ordre de Im(phi) divise 9, l'ordre de F. mais Im(phi) est un sous groupe de Aut(G), donc c'est un diviseur commun à 9 et 88.
Ainsi, Im(phi) est le sous-groupe trivial et l'action de F sur G est donc triviale.

La seule ambiguïté que je vois, c'est justement cette histoire d'"action sur un groupe", si elle n'est définie ni dans le cours ni dans l'énoncé.

Ah oui d'accord, Merci beaucoup pour vos réponses !
et pour la dernière question du coup?
qu'en pensez vous ?