Hello,

on considère qu'on dérive les entiers de la façon suivante :

i) 0' = 0
ii) Si p est premier : p' = 1
iii) Pour p et q quelconques : (pq)' = p'q + qp'

Quelques questions en vrac :

1) Calculez, par exemple, 60'

2) Trouvez tous les entiers de dérivée nulle

3) Trouvez tous les entiers de dérivée seconde nulle

4) Trouvez les exponentielles pour cette dérivation (ie les n tels que n' = n)

5) (ouverte) Trouver tous les entiers qui admettent une primitive.

Amusez-vous bien

Pour info, cette technique de dérivation a été introduite assez récemment comme nouvelle méthode d'approche "analytique" des conjectures arithmétiques classiques (Goldbach, nombres premiers jumeaux, ...)

Comment définissez vous la dérivé de 1 ?

Les trois hypothèses suffisent pour la calculer!

1) 92
2) 1 et 0 sont trivialement de dérivée nulle. Soit n le plus petit entier vérifiant n > 1 et n' = 0, alors n n'est pas premier et il existe p et q non nuls et différents de 1 tels que n = pq et on a n' = p'q + pq'. Comme p et q sont plus petits que n, on a n' > 0. Contradiction
3) les entiers ayant une dérivée seconde nulle sont 0, 1 ainsi que les nombres premiers. En étendant la preuve précédente au cas de la dérivée seconde on aboutit au résultat
4) je galère je suis fatigué
5)

Dérivée d'entier ?

Tiens je crois avoir fait un exo dans le genre aux Olympiades de Maths de l'année dernière

http://espaceeducatif.ac-rennes.fr/jahia/webdav/site/espaceeducatif3/groups/MATHEMATIQUES_Webmestres/public/olympiades/sujet%20acad%C3%A9mique%20OAM%202016%20Rennes.pdf

Voilà

Pour les exponentielles je ne vois que 0 et les p^p avec p premier

4) Trouvez les exponentielles pour cette dérivation (ie les n tels que n' = n)

On remarque, par une petite récurrence, qu'un entier de la forme $p^n$ avec $p$ premier a une dérivée égale à $np^{n-1}$, comme pour les fonctions puissances usuelles. Ainsi, en choisissant $p = n$, on trouve une infinité d'exponentielles distinctes. Réciproquement, soit $n = \prod_i p_i^{a_i}$ un entier exponentiel. supposé non nul, décomposé en produit de facteurs premiers. Un calcul donne
$$1 = \frac{n'}{n} = \sum_i \frac{a_i}{p_i}.$$
Comme on somme des termes positifs, on a nécessairement $a_i \leq p_i$ pour tout $i$. Soit maintenant $p = \prod_i p_i$. En multipliant l'égalité ci-dessus par $p$ on obtient
$$p = \sum_i a_i \frac{p}{p_i} = a_1 \frac{p}{p_1} + \sum_{i \neq 1} a_i \frac{p}{p_i}. $$
(Notons que chaque $\frac{p}{p_i}$ est un entier, par définition de $p$.)
Le nombre premier $p_1$ divise clairement $p$, ainsi que chaque tous les $\frac{p}{p_i}$ pour $ i \neq 1$, il divise donc $a_1 \frac{p}{p_1}$. D'autre part, il est tout aussi clairement premier avec $\frac{p}{p_1}$, il doit donc diviser $a_1$ d'après le lemme de Gau$\beta$. Comme $a_1 \leq p_1$, on a $a_1 = p_1$ ou $a_1 = 0$. L'un des $a_i$ et un seul est égal à $p_i$, tous les autres doivent être nuls, ce qui clôt la preuve (qui pourrait être un peu simplifiée à vue de nez, mais tant pis).

Le 27 décembre 2016 à 12:34:44 Hachino a écrit :

4) Trouvez les exponentielles pour cette dérivation (ie les n tels que n' = n)

On remarque, par une petite récurrence, qu'un entier de la forme $p^n$ avec $p$ premier a une dérivée égale à $np^{n-1}$, comme pour les fonctions puissances usuelles. Ainsi, en choisissant $p = n$, on trouve une infinité d'exponentielles distinctes. Réciproquement, soit $n = \prod_i p_i^{a_i}$ un entier exponentiel. supposé non nul, décomposé en produit de facteurs premiers. Un calcul donne
$$1 = \frac{n'}{n} = \sum_i \frac{a_i}{p_i}.$$
Comme on somme des termes positifs, on a nécessairement $a_i \leq p_i$ pour tout $i$. Soit maintenant $p = \prod_i p_i$. En multipliant l'égalité ci-dessus par $p$ on obtient
$$p = \sum_i a_i \frac{p}{p_i} = a_1 \frac{p}{p_1} + \sum_{i \neq 1} a_i \frac{p}{p_i}. $$
(Notons que chaque $\frac{p}{p_i}$ est un entier, par définition de $p$.)
Le nombre premier $p_1$ divise clairement $p$, ainsi que chaque tous les $\frac{p}{p_i}$ pour $ i \neq 1$, il divise donc $a_1 \frac{p}{p_1}$. D'autre part, il est tout aussi clairement premier avec $\frac{p}{p_1}$, il doit donc diviser $a_1$ d'après le lemme de Gau$\beta$. Comme $a_1 \leq p_1$, on a $a_1 = p_1$ ou $a_1 = 0$. L'un des $a_i$ et un seul est égal à $p_i$, tous les autres doivent être nuls, ce qui clôt la preuve (qui pourrait être un peu simplifiée à vue de nez, mais tant pis).

Je me disais bien hier soir que sans papier et bien au chaud dans mon lit la réciproque allait être un peu chiante

En vrai, une fois que t'es convaincu d'avoir tout le monde avec les auto-exponentielles des premiers c'est pas si dur à faire.... à une heure raisonnable et en étant bien réveillé, tout de même.

La question 4 on l'a eu en exercice

Et effectivement sans stylo c'est pas évident..

Et la question 5 quand vous dites "ouverte" ça veut dire qu'aujourd'hui personne ne connaît la réponse ?

Une recherche rapide te mène à cet article Wiki : https://en.wikipedia.org/org/wiki/Arithmetic_derivative . Répondre à la question 5 permettrait soit de nier la conjecture de Goldbach (si on trouve un entier pair sans primitive), soit de faire un pas vers elle (si on montre que tous les pairs ont une primitive). Son ouverture se comprend un petit peu mieux tout d'un coup, m'fin ça n'empêche pas d'essayer d'avancer sur la question.

La règle i : 0'=0 est inutile. Elle se déduit des deux autres :

0'=(2*0)'=1*0+2*0'=2*0'
Donc 0'=0

Le 27 décembre 2016 à 13:47:45 Hachino a écrit :
Une recherche rapide te mène à cet article Wiki : https://en.wikipedia.org/org/wiki/Arithmetic_derivative . Répondre à la question 5 permettrait soit de nier la conjecture de Goldbach (si on trouve un entier pair sans primitive), soit de faire un pas vers elle (si on montre que tous les pairs ont une primitive). Son ouverture se comprend un petit peu mieux tout d'un coup, m'fin ça n'empêche pas d'essayer d'avancer sur la question.

J'invoque le kikoo-jap

Bravo aux participants!

Pour la question 5) c'est effectivement plus ou moins au coeur des recherches arithmétiques actuelles (en tout cas pour ceux qui utilise cette nouvelle approche), mais qui sait, une avancée peut venir de nulle part, même de ce forum!