Yo pour la rentrée j'ai pas mal d'exo d'algèbre et j'ai presque tout finit mais il y a quelques exos où je n'arrive pas à aboutir.
Donc il y a le 14 et le 22. Pour le 14, pour a et a-¹ j'ai trouvé pour l'ordre finit (j'ai commencé par montrer que a-¹ était d'ordre finit et j'ai montré que si on prenait n l'ordre de a alors on prend p l'ordre de a-¹ qui serait inférieur à n puisque l'ordre doit être le plus petit entier strictement positif tel que (a-¹)^p=e puis en changeant les roles de a et a-¹ j'ai trouvé p supérieur à n donc n=p) ensuite pour l'ordre infini j'ai pas trop compris comment procédé puis pour ab,ba et a et bab-¹ j'ai pas trouvé non plus alors que ça à l'air con


Et pour le 22 alors là je ne trouve rien de précis/concret

Pour a et bab^(-1), calcule les premières puissances de chacun des deux nombres et tu comprendras mieux. Pour ab et ba, si tu réfléchis, tu peux voir que c'est en fait une paire c/dcd^(-1), avec c et d à exprimer en fonction de a et b.

Pour le 22, essaye déjà de trouver un endomorphisme concret, un sur lequel tu peux faire des calculs explicites et simples. Ensuite, demande-toi ce qui se passe selon la valeur de 1 sous ton endomorphisme.

Le 26 décembre 2016 à 23:33:40 Hachino a écrit :
Pour a et bab^(-1), calcule les premières puissances de chacun des deux nombres et tu comprendras mieux. Pour ab et ba, si tu réfléchis, tu peux voir que c'est en fait une paire c/dcd^(-1), avec c et d à exprimer en fonction de a et b.

Pour le 22, essaye déjà de trouver un endomorphisme concret, un sur lequel tu peux faire des calculs explicites et simples. Ensuite, demande-toi ce qui se passe selon la valeur de 1 sous ton endomorphisme.

Pour a et bab^(-1) j'ai dit que : a^n=e et (bab^-1)^n=b^n*a^n*b^-n
=b^n*e*b^-n
=e donc bab^-1 est d'ordre finit?
Puis pour montrer que bab est de même ordre je ne sais pas si je peux procéder comme pour a et a^-1
Ensuite pour ab et ba j'ai montrer que ba=b(ab)b^-1
Ensuite j'ai mis à la puissance n et j'ai trouvé (ba)^n=e mais encore une fois pour montrer que c'est de même ordre je ne sais pas si j'ai le droit de procéder comme pour a et a^-1
Et pour l'ordre infini là jsais pas je sais juste que si a est d'ordre infini alors pour tout k€N* on a a^k≠e

Euh Fleurdelys ton post a été supprimé en plus je comprenais bien pour le 22 grâce à toi

Up

Up pour le 22 surtout je galère, j'ai un morphisme f de (Z,+) dans (Z,+) tel que pour tout (x,y)€(Z,+)² j'ai f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=0 et donc Ker(f)={0} et Im(f)=nf(1)
Jsuis même pas sûr que ça soit bon ce que j'ai trouvé
Donc voilà je bloque

f(0)=0 et donc Ker(f)={0}

Non ça c'est faux. f(0) = 0 c'est toujours vrai pour un morphisme, mais ker f = {0} pas toujours. Prends f le morphisme nul par exemple.

Im(f)=nf(1) ça veut rien dire. Je suppose que tu veux dire f(n) = nf(1), ou Im(f) = f(1)Z.

Le 27 décembre 2016 à 18:36:36 Prauron a écrit :

f(0)=0 et donc Ker(f)={0}

Non ça c'est faux. f(0) = 0 c'est toujours vrai pour un morphisme, mais ker f = {0} pas toujours. Prends f le morphisme nul par exemple.

Im(f)=nf(1) ça veut rien dire. Je suppose que tu veux dire f(n) = nf(1), ou Im(f) = f(1)Z.

Ah oui pour le Ker je vois donc je dois mieux expliciter f pour trouver le Ker? Même si ça à l'air d'être {0} Et pour Im(f) c'est ce que je voulais dire oui
Donc maintenant il me reste quoi à trouver? Parce que je t'avoue que je suis un peu perdu j'ai l'impression de trouver des trucs peu concrets

Si t'as réussi à prouver que si f est un morphisme de (Z,+), alors f(n) = nf(1), normalement le reste est pas trop dur. Tu en déduis immédiatement Im f, puis ker f, et les automorphismes.

Le 27 décembre 2016 à 18:49:35 Prauron a écrit :
Si t'as réussi à prouver que si f est un morphisme de (Z,+), alors f(n) = nf(1), normalement le reste est pas trop dur. Tu en déduis immédiatement Im f, puis ker f, et les automorphismes.

Je peux montrer ça par récurrence ?

Oui, sans oublier les entiers négatifs.

Le 27 décembre 2016 à 18:54:50 Prauron a écrit :
Oui, sans oublier les entiers négatifs.

Ok thanks