Salut

Si on a un ensemble E contenant : {équation 1, équation 2, pour tout x,y,z}

Si on a les deux équations ouvertes sur R3 alors E est un ouvert
Si on a les deux équations fermées sur R3 alors E est un ouvert

Mais dans le cas où on a une ouverte et une fermée on fait comment ?

(J'utilise cette méthode : si f(X,Y,Z) = x^2 +2y -z > 4
La fonction étant continue, f^-1 (x,y,z) = ]4; +00[
Avec ]4; +00[ ouvert sur R , donc ==> ouvert sur R3 )

Mais pour ma question je suis perdu

Merci d'avance

C'est quoi une équation ouverte ou fermée ?
Tu inclues les inéquations ?

Autre chose : ça f^-1 (x,y,z) ça ne veut rien dire d'après l'application f que tu as posée puisque qu'elle va dans R.

On écrit : "tu inclus"

Tu m'as eu.

E l'ensemble d'une inéquation (1)
G l'ensemble d'une inéquation (2)

F = {E + G}

Si E est ouvert et que G aussi, F est ouvert
Idem si E et G fermé, F sera fermé

Mais si E est ouvert, G fermé, comment on fait pour étudier F ??

Je me suis mal exprimé désolé, la c'est plus clair non ?

A priori, ton ensemble va être l'intersection (et non la somme) d'un ouvert et d'un fermé, donc on ne peut rien dire en général. De manière générique (aka sauf cas particulier un peu crétin), tu peux t'attendre à n'avoir ni ouvert ni fermé.

Oui une intersection, ducoup l'intersection de 2 sous ensemble fermé sera un fermé
Et inversement

Mais je ne vois pas du tout comment faire dans le cas d'un ouvert et d'un fermé

Quelqu'un peut m'aiguiller si je lui donne l'exemple :
E = {(X, Y, Z) appartenant à R3, x^2 -zxy +2y < 1 et 1=< x^2 +2y^2 +3z^2 =< 3 }
(Inférieur ou égal)

Appart traiter les deux cas indépendamment c'est à dire :
f la premiere fonction continue sur R3, F son ensemble alors F = f^-1 (]-00; 1[) or ]-00; 1[ est un ouvert de R donc F est un ouvert de R3

g la deuxième fonction continue sur R3, G son ensemble alors G = f^-1 ([1;3]) pr [1;3] est un fermé de R donc G est un fermé de R3

Et la je suis bloqué...
Ducoup je n'ai aucune idée de comment traiter l'interesection, et non la somme

Mais je ne vois pas du tout comment faire dans le cas d'un ouvert et d'un fermé

Ben rien, en général l'intersection ne sera ni un ouvert si un fermé, t'escrimes pas à montrer un truc faux, tu perds ton temps.

Mais il faut bien le prouver

Et en examen on avait eu un exo ou c'était justement le cas (j'ai eu 2,5/20, moyenne de classe 2/20 )

Et à partir d'un ouvert et un fermé, on obtenait un fermé

Bah si le fermé est inclus dans l'ouvert ça fait un fermé, mais sinon ça fait rien.

Mais il faut bien le prouver

Et en examen on avait eu un exo ou c'était justement le cas (j'ai eu 2,5/20, moyenne de classe 2/20 )

Et à partir d'un ouvert et un fermé, on obtenait un fermé

Si le fermé est inclu dans un ouvert Ca fait un fermé ?
Donc le fermé dominé ?

Et si on a un ouvert et un fermé sans inclusion de l'un dans l'autre c'est ni l'un ni l'autre ?

Non mais arrête de chercher des recettes de cuisine, comprends ce que ca veut dire ouvert et fermé et tu sauras répondre tout seul a tes questions