Bonjour,
J'ai besoin d'un peu d'aide. Dans un exo, j'ai une matrice :
$
\begin{matrix}
0 & 1 \\
-a & 1+a
\end{matrix}
$
où A est un paramètre. Après calcul du polynôme caractéristique, j'ai :
P_a(X) = (X-1)(X-a)
Et comme E1 le sous espace propre de la valeur propre 1 est E1 = Vect((1,1)), A est diagonalisable que si a différent de 1, est trigonalisable dans R sinon.
Pour la première partie, c'est bon. Pour la deuxième, on a voulu calculer A^n par deux méthodes, l'une algébrique, via la trigonalisation "normale", et l'autre en donnant un argument de continuité, et c'est là où je bloque.
Voilà la question :
Montrer que la matrice A^n, vue comme fonction du paramètre a, est continue en a=1. Utiliser l'expression calculée précédemment de A^n, pour a != 1, pour en déduire la valeur de A^n pour a=1.
Bon, étant donné que j'ai montré que la base de vecteurs propres de A^n est B= ((1 1), (1 a)) pour a !=1, on voit bien que lim (a->1) (1 a) = (1 1) et donc B devient juste (1 1). Mais je comprends pas trop comment faire, d'habitude on parle de continuité pour des fonctions, alors pour une matrice je dois montrer quoi ? Que lim (a->1) de chaque valeurs de la matrice est une fonction continue ? Je pense pas vu que je dois surement utiliser le fait que B=((1 1), (1 a)).
En plus vu qu'on a :
A^n = 1/(1-a) ((a-a^n) (a^n-1) ; a-a^(n+1) a^(n+1)-1), si je prends la limite de chaque valeur, que je factorise et que je réduis toussa, je trouve :
A^n = (-n-1 n ; -n ; n+1)
Ce qui d'après la partie précédente (la méthode algébrique), semble cohérent.
Mais cet argument de continuité, je vois pas comment l'exploiter, j'ai jamais vu la notion de continuité sur une matrice...
