Bonsoir,
J'ai essayé de comprendre cet exercice sur un autre site mais c'est devenu très vite très compliqué et j'ai espoir que ca ne le soit pas tant que ca parce que je n'arrive vraiment pas a comprendre. Voici l'énoncé :
On munit $X = \{0,1\} $ de la topologie discrète.
Montrer que la topologie produit sur $X^{I}$ est strictement moins fine que la topologie discrète des que I est infini.
Alors on sait que la base des ouverts de la topologie produit de $X^{I}$ munit de la distance discrète ici est :
$\{ \prod_{i\in I}X_{i} \: / \: \: \: J \: \: \: fini \subset I \: \: \: \forall j \in J \: \: \: X_{i} \in O_{T} \: \: \: et \: \: \: \forall i \in I/J \: \: \: X_{i}=X \}$
La topologie discrete sur $X^{I}$ c'est tout simplement tout les singletons puis le vide et $X^{I}$ . Simple.
La topologie discrete est la plus fine que toute donc automatiquement on sait que Tproduit inclus dans Tdiscrete.
Mais on veux montrer qu'on a l'inclusion stricte. Donc si on trouve un ouvert de Td qui n'est pas dans les ouverts de Tp c'est bon non ?
Le singleton { (0,0,0,0 [...]) } ne peux pas s'écrire comme une réunion finie (ou dénombrable) ou comme une intersection finie d'éléments de la base des ouverts de la topologie produit.
Si on montre ca le tour est joué non ?
Et la pour la rédaction de ca je n'y arrive pas et ne comprends vraiment pas pourquoi c'est si dur.

La topologie discrete sur $X^{I}$ c'est tout simplement tout les singletons puis le vide et $X^{I}$ .

Ça c'est une base de la topologie discrète. La topologie discrète c'est tous les sous-ensembles de X^I

Mais on veux montrer qu'on a l'inclusion stricte. Donc si on trouve un ouvert de Td qui n'est pas dans les ouverts de Tp c'est bon non ?

oui

Le singleton { (0,0,0,0 [...]) } ne peux pas s'écrire comme une réunion finie (ou dénombrable) ou comme une intersection finie d'éléments de la base des ouverts de la topologie produit.

En fait y'a juste à considérer des unions, ta base est déjà close par intersection finie.
Par définition une prébase ça engendre ta topologie en faisant des unions dénombrables et intersections finies, et une base ça engendre ta topologie en faisant uniquement des unions.

En fait y'a juste à considérer des unions, ta base est déjà close par intersection finie.

Par définition une prébase ça engendre ta topologie en faisant des unions dénombrables et intersections finies, et une base ça engendre ta topologie en faisant uniquement des unions.

Merci je comprends un peu mieux.
Donc ici on voit qu'on ne peux pas ecrire le singleton { (0,0,0,0 [...]) } par une reunion d'elements de la base de la topologie produit.
Comment écrire cela ?

Par exemple, montre que tout élément de la base contient d'autres éléments que (0, 0, 0, ... ), en montrant qu'ils contiennent forcément un élément qui a un composante égale à 1, et puis ça marchera aussi trivialement pour les unions