(E,d) un espace metrique. A,B deux sous enesembles de E. adherence(A) intersecté adherence(B) = ensemble vide
f : E -> R tq f(x)= d(x,A) / (d(x,A)+d(x,B))
Montrer que l'application f est continue.
LA correction montre que d(x,A)+d(x,B) = 0 n'arrive jamais.Ca je l'ai compris.
Ce qui est utilisé ici implicitement c'est que lim f(x) quand x -> a = f(a). Et on voit que ca marche pour tout a parce que il n'y a pas de f(a) tel qu'il n'existe pas (la ou le denominateur serait = 0).
C'est bien ca ?

Si tu sais montrer que la distance à un ensemble est une fonction continue, en utilisant la correction, ta fonction f est un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule jamais. Fini.

La distance a un ensemble est 1-lipschitzienne (ça se démontre assez facilement avec l'inégalité triangulaire "inversée"). Donc pour que f soit continue il suffit que le dénominateur ne s'annule pas. Pas besoin de montrer l'égalité sur la limite.

Le 03 décembre 2016 à 22:32:19 Hachino a écrit :
Si tu sais montrer que la distance à un ensemble est une fonction continue, en utilisant la correction, ta fonction f est un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule jamais. Fini.

Ué ben c'est pas montrer que cette fausse distance est continue c'est pour ca ca m'enerve.

Le 03 décembre 2016 à 22:35:20 [nicomezi] a écrit :
La distance a un ensemble est 1-lipschitzienne (ça se démontre assez facilement avec l'inégalité triangulaire "inversée"). Donc pour que f soit continue il suffit que le dénominateur ne s'annule pas. Pas besoin de montrer l'égalité sur la limite.

Je vais essayer de comprendre merci.

ppour montrer 1 lips:
| d(x,A)-d(y,A) | <= d(x,y) (l'inegalite triangulaire inversée) et on sait que d(x,A) = inf { a appartient a A d(x,a) }.
Posons |d(x,a)-d(y,a) | <= d(x,y) et ce pour tout a appartient a A. Prenons le cas d(x,a)-d(y,a) >= 0 .
On a d(x,a) <= d(x,y) + d(y,a) pour tout a. facile de faire apparaitre un inf :
d(x,A)=inf d(x,a) <= d(x,y) + d(y,a). Mais l'autre ...

Ton membre de droite ne dépend plus de $a \in A$, donc le membre de gauche est plus petit que l'inf sur $a$ du membre de droite. Or, cet inf vaut...

En fait j'ai du mal a comprendre pourquoi on peux si a gauche (tu a voulu dire gauche non ?) ca depend plus de a mais a droite si passer au inf a droite.

C'est bon j'ai compris. Inf c'est le plus grand des minorants de l'ensemble qui depend de a, a gauche c'est un
minorant de l'ensemble et donc voila c'est bon.
Souvent des trucs basique comme ca me semble pas évident/intuitif.

Les inf c'est pas si évident que ça à manipuler quand il y en a plusieurs.