Je bloque sur un truc(faute de ne pas avoir suffisament lu mon cours probablement).J'ai une matrice dont le polynome caracteristique est de degré 3 et s'annule en une valeur reelle,une valeur complexe et son conjugué.

La question c'est de montrer que cette matrice n'est pas diagonalisable.

Y a t-il un argument pour conclure?

PS:la matrice en question
1 2 -1
0 1 0
1 -2 1

Merci

Si tu dois diagonaliser une matrice (dans R), tu mets quoi sur la diagonale ?

Les valeurs propres,mais là j'ai deux valeurs propres complexes,du coup est ce suffisant pour conclure?

Oui. Une condition nécessaire pour que ça soit diagonalisable c'est que le polynôme caractéristique soit scindé. Ici c'est (X-1)(X² - 2X + 2), qui n'est pas scindé sur R.
Par contre la matrice est C-diagonalisable puisque t'as 3 valeurs propres distinctes.

Si par valeurs propres complexes tu veux dire à partie imaginaire non nulle (oui c'est un peu du pinaillage mais bon, attention aux abus de langage), oui c'est suffisant.
Une condition nécessaire à la diagonalisation dans R, respectivement C (en fait valable dans tout corps, si ça te parle) est que le polynôme caractéristique soit scindé dans R, respectivement C.

(
attention ce n'est pas suffisant, la matrice suivante a un polynôme caractéristique scindé mais n'est pas diagonalisable
1 1
0 1
)

PS : coiffé sur le poteau, comme dirait mon grand-père.

Je vois du coup la question sous entend qu'on travail uniquement dans R sinon elle serait semblable à une matrice diagonale sur C.Ca c'est ok.

Par contre comment sait-on qu'un polynome est scindé(définition)?

P est scindé si il s'ecrit P=produit des (X-ai)^mi
Tout polynome est scindé sur C, si tu sais pas ce qu'est la définition de polynome scindé la réduction va être difficile

Scindé ça veut dire que tu peux l'écrire sous forme d'un produit de facteurs de la forme X-a.
Donc un polynôme (non constant...) est scindé sur R ssi toutes ses racines sont réelles. Et un polynôme (non constant) complexe est toujours scindé.

Merci,

Par contre,papalia,ne t'inquiète pas pour moi