Soit $D$ un disque d'équation $x^{2}+y^{2}\leq 1$ et $U = D \cap \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+$

Calculer :

$$ J=\int \frac{y}{x+ \sqrt[]{x^2+y^2}} dxdy $$ (le long de D )

avec un changement de variable polaire on arrive à
$$ J= \int \frac{\rho \sin\theta}{\rho \cos\theta + \rho} \rho d\rho d\theta = \int \frac{\sin\theta}{ \cos\theta + 1}\rho d\rho d\theta = \int\frac{\sin\theta}{ \cos\theta + 1}d\theta * \int \rho d\rho $$

or $\theta \in ]-\pi ; \pi[$ et $\rho\in [0 ; 1]$

Le prof a donc décidé de calculer l'intégrale en teta entre les bornes $-\pi+\epsilon$ et $\pi-\epsilon$

Après un changement de variable en tan(theta/2), l'intégrale nous donne 0, ce que mon prof a jugé "douteux". Il y a une erreur quelque part ?

(je peux détailler les calculs de la dernière intégrale si besoin)

$$ J=\int_{D} \frac{y}{x+ \sqrt[]{x^2+y^2}} dxdy $$

Le truc douteux c'est que tu intègres une fonction impaire sur un intervalle centré en 0

Pourquoi t'introduis U si il apparaît nulle part après ?

Ah il sert dans une autre partie de l'exo non citée ici désolé j'ai pas fait gaffe

Le 27 novembre 2016 à 17:06:01 Jai4problemes a écrit :
Le truc douteux c'est que tu intègres une fonction impaire sur un intervalle centré en 0

Merci

J c'est l'intégrale sur le demi-disque supérieur + l'intégrale sur le demi-disque inférieur. Le changement de variable u = x, v = -y montre que la première est l'opposé de la seconde.