Salut,

Connaissez-vous un exemple d'équation qui n'a pas de solution dans l'ensemble des complexes mais qui a des solutions dans l'ensemble des quaternions ?
Je sais qu'il n'existe pas d'équations polynômiales de ce type mais est-ce qu'il est possible que ça soit le cas pour d'autres types d'équations ?

C'est pas vraiment une équation mais regarde la factorisation des quatres carrés

Merci mais c'était pas vraiment ce que je cherchais. Je reformule ma question.

En simplifiant à l'extrême, on peut dire qu'au début des mathématiques seuls les entiers naturels étaient connus.
Puis comme l'équation x+5=0 n'avait pas de solutions, on a inventé les entiers relatifs.
Ensuite, on a créé les rationnels pour que l'équation 3x-2=0 ait une solution.
Après, on a inventé les réels pour que x²=2 ait des solutions.
Enfin, on a créé les complexes pour que x²=-1 ait des solutions.

Ma question est donc est-ce que c'est aussi vrai pour les quaternions ?
Est-ce qu'on a créé les quaternions pour "donner des solutions à une équation qui n'en avait pas" ?

Cela étend les complexes à l'espace.

D'accord, donc on a "inventé" les quaternions, seulement pour généraliser les complexes à un espace à 4 dimensions.

Les complexes suffisaient donc déjà à "résoudre toutes les équations " qu'on connaissait ? C'est pas comme les complexes qui ont permis d'ajouter des solutions à x²=-1 par exemple ?

Les quaternions c'est 3 dimensions jpense

Non c'est de dim 4 en tant que R-ev et 2 en tant que C-ev, utilise pas des mots que tu comprends pas encore.

Nan mais je sais que c'est dans R4, mais pour la géometrie c'est dans l'espace, comme les complexes sont dans le plan

Enfin je pense

Notons {\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {H} } \operatorname {Im}{\mathbb {H}} l'ensemble des quaternions imaginaires purs, de sorte que {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} \oplus \operatorname {Im} \mathbb {H} } {\mathbb {H}}=\mathbb{R} \oplus \operatorname {Im}{\mathbb {H}}. Muni de la base {\displaystyle (i,j,k)} (i,j,k) et de la norme euclidienne induite, {\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {H} } \operatorname {Im}{\mathbb {H}} est un espace euclidien de dimension 3

C'est ImH pas H là.

Ah j'ai oublié les $

Bref je vais pas débattre sur un sujet que je connais pas, mais on fait des quaternions en spé ?

Non, notre prof nous en avait juste parlé vite fait sur les groupes.

Bah en soi, si tu entends qu'on aurait créer les quaternions pour résoudre une équation algébrique dans C ou ses sous corps, c'est très probablement faux car C est algébriquement clos

Je sais que C est algébriquement clos et que ce n'est donc pas le cas pour les équations polynômiales. Mais qu'en est-il des autres types d'équations ?

Up

?

Salut,

adresse-toi à l'institut Poincaré.

Ptêt que tu cherches une équation du style e^x=x qui n'a pas de solution de la même manière que x^2=-1 n'en avait pas avant les complexes ?

EDIT : Nan en fait ça a une solution dans C je savais pas

Les quaternions ne forment pas un corps commutatif, ce qui est gênant pour y traiter les équations algébriques, qu'on a plutôt tendance à traiter justement dans un cadre commutatif.

Les quaternions ne sont pas de même nature que les réels et les complexes, d'ailleurs chez les anglo-saxons ce n'est même pas un corps mais juste une algèbre, il ne serait donc pas naturel que les quaternions aient une justification d'existence identique à celles des réels et des complexes.