Bonsoir

je bloque sur un exercice de L1 où il faut démontrer que R est une relation d'équivalence, et déterminer les classes d'équivalence.

Voici l’énoncé :

Soit E un ensemble et soit A une partie de E. On définit dans P(E) la
relation R en posant, pour tout couple (X, Y ) de parties de [P(E)]² :

XRY ⇐⇒ A ∩ X = A ∩ Y.

1. Montrer que R est une relation d’équivalence dans.

2.Déterminer les classes d'équivalence suivantes : cl(A), cl(Ø), cl(E)

voilà, toute aide est la bienvenue!

EDIT : je sais qu'il faut démontrer la réflexivité, symétrie et transitivité pour la 1ere question, mais je ne sais pas comment procéder.

XRX ?

Le 13 novembre 2016 à 16:37:29 Higgs a écrit :
XRX ?

pour la réflexivité c'est ça qu'il faut démontrer oui, mais comme dit plus haut, je ne sais comment procéder.

Le 13 novembre 2016 à 16:38:56 TheoriedeGalois a écrit :
Mais si tu sais. Écris les définitions et déroule les deux lignes de calcul en considérant la relation qui est donnée

avec une relation plus simple j'aurais peut-être su me débrouiller, mais j'ai pas trop d'idée de comment manipuler la relation donnée, c'est là où je bute.

La première question est facile suffit de prendre les définitions.

Réflexif : XRX
Symétrique : XRY => YRX
Transitif : XRY et YRZ => XRZ

Pour la seconde question, la classe de A c'est l'ensemble des Y tels que ARY, donc l'ensemble des Y tels que A inter A = A inter Y, donc l'ensemble des Y tels que A = A inter Y, donc...
Fais le même raisonnement pour les deux autres classes demandées.

pour la réflexivité c'est ça qu'il faut démontrer oui, mais comme dit plus haut, je ne sais comment procéder.

Y'a rien à démontrer en fait. A inter X = A inter X, donc XRX, voilà.

Le 13 novembre 2016 à 16:41:41 Prauron a écrit :
La première question est facile suffit de prendre les définitions.

Réflexif : XRX
Symétrique : XRY => YRX
Transitif : XRY et YRZ => XRZ

Pour la seconde question, la classe de A c'est l'ensemble des Y tels que ARY, donc l'ensemble des Y tels que A inter A = A inter Y, donc l'ensemble des Y tels que A = A inter Y, donc...
Fais le même raisonnement pour les deux autres classes demandées.

Le 13 novembre 2016 à 16:43:03 Prauron a écrit :

pour la réflexivité c'est ça qu'il faut démontrer oui, mais comme dit plus haut, je ne sais comment procéder.

Y'a rien à démontrer en fait. A inter X = A inter X, donc XRX, voilà.

ah c'est aussi simple que ça pour la 1ere question ? poser les définitions est la réponse ? d'accord merci beaucoup

je vois un peu pour la 2ème, j'vais essayer ça merci encore

non c'est pas ça la réponse mais c'est ce que tu dois démontrer

Le 13 novembre 2016 à 16:52:56 skywear a écrit :
non c'est pas ça la réponse mais c'est ce que tu dois démontrer

d'accord...je me perd un peu mais bon j'vais voir ça

Il y a absolument rien à démontrer, l'égalité étant elle même une relation d'équivalence tu risques pas de te tromper.

réflexif : A ∩ X = A ∩ X --> XRX

symétrique : A ∩ X = A ∩ Y <=> A ∩ Y = A ∩ X --> XRY => YRX

transitif : A ∩ X = A ∩ Y et A ∩ Y = A ∩ Z => A ∩ X = A ∩ Z --> XRY et YRZ =>XRZ

c'est ça pour la premiere ?

oui

Le 13 novembre 2016 à 17:38:51 skywear a écrit :
oui

merci chef, bonne soirée

Pour la seconde question, la classe de A c'est l'ensemble des Y tels que ARY, donc l'ensemble des Y tels que A inter A = A inter Y, donc l'ensemble des Y tels que A = A inter Y, donc...

Fais le même raisonnement pour les deux autres classes demandées.

je reviens car je bloque encore, je saisi pas l'idée là

help

voilà où je bloque:

cl(A) = { y ∈ P(E) \ ARY }
cl(A) = { y ∈ P(E) \ A∩A = A∩Y }
cl(A) = { y ∈ P(E) \ A = A∩Y }
cl(A)= { y ∈ P(E) \ ??? }

heeelp

A= A inter Y si et seulement si A est inclus dans Y (dessine des patates pour le voir)

voilà

mais je vois pas en quoi ça peut m'aider ? en fait ça a l'air simple, mais j'ai l'impression de pas saisir le sens de classes d'équivalence...je me sens con

EDIT: c'est ça la dernière ligne : cl(A)= { y ∈ P(E) \ A ∈ y } ?

bon bah dernier

Attention, l'inclusion d'un ensemble dans un autre c'est noté "c" (symbole d'appartenance sans la barre).

Mais sinon tu as l'air d'avoir bien compris ce qu'est une classe d'équivalence pour cette relation, ce qui te bloque c'est peut-être simplement la conclusion car tu n'es pas à l'aise avec l'intersection d'ensembles .
Reprends bien ta définition, l'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux ensembles.
Pour cl(A) par exemple :
cl(A) = {Y dans P(E) | A = A inter Y}
A = A inter Y ça veut dire que A inter Y est
- composé des éléments de A ET de Y (par définition)
- composé des éléments de A (par relation avec A)
Du coup si Y ne contient pas tous les éléments de A, tu ne pourras pas satisfaire ta deuxième condition, car en effet ton intersection ne couvrira pas tout A. Ainsi, tu sais que tout élément de A doit être dans Y pour pouvoir avoir ta relation.
Donc A inclus dans Y.
Ainsi cl(A) = {Y dans P(E) | A inclus dans Y}