Bonjour

J'ai une petite question sur laquelle j'aurais besoin d'un peu d'aide.
On veut montrer que pour toute suite numerique (v(n)), avec v(0) donné, il existe une suite (u(n)) telle que pour tout n :
v(n)=u(n+1)-u(n)

Et on demande si elle est unique.

Le truc c'est que je vois pas trop comment partir. On suppose v(0)=a. Bien sur si je prends u(n) = nv(n) pour tout n, ca marche mais bon j'ai rien fais. J'imagine qu'on peut pas expliciter une formule pour u(n), mais j'imagine que c'est pas ce qui est attendu. J'ai egalement pensé au fait que les suites numeriques dans R forme un espace vectoriel, mais je sais pas si faut vraiment partir par là...

Des idees ?

La relation v(n) = u(n+1) - u(n) fournit la relation de récurrence u(n+1) = v(n) + u(n) qui définit bien une suite.

Si a(n) et b(n) sont telles que a(n+1) - a(n) = b(n+1) - b(n) = v(n) alors la suite w(n) = a(n) - b(n) est constante.

Pour finir, en sommant l'égalité v(n) = u(n+1) - u(n) qui donne une somme télescopique on obtient une expression de u en fonction de v.

Merci chef Amandin ! Mais alors du coup pour expliciter u(n+1) on a :

somme (v(k)) pour k de 0 à n = u(n+1) - u(0)
Donc on a u(n+1) = v(0)+v(1)+...+v(n) - u(0)

Mais c'est tout ce qu'on peut faire ? Parce que pour la plupart des suites, on connait pas la valeur de v(0) + v(1) + ... + v(n)...

Oui mais ce n'est pas dérangeant, on ne voulait pas une expression de u(n) en fonction de n mais en fonction de v(n), ce que tu obtiens.

Encore une petite question, qui va surement vous paraître débile. Lors d'un exercice, je dois déterminer la valeur de la série de terme général v_n = 1/(n^3-n), mais la question est plus particulièrement de trouver une série u_n qui vérifie pour tout n naturel : v_n = u_(n+1)-u_n

J'ai bien sûr décomposer 1/(n^3-n) en élément simples et trouvé : $v_n = \frac{\frac{1}{2}}{n+1} - \frac{1}{n} + \frac{\frac{1}{2}}{n-1}$. Après bien sûr en sommant, j'arrive à trouver que la valeur de la série de terme général v_n est égale à 1/4 (sommes télescopiques). Mais par contre j'ai pas vraiment trouvé une suite u_n tel que v_n = u(n+1)-u(n). On reconnait un peu une formule du type v_n = u(n+1)-u(n)+u(n-1) et encore, pour l'expliciter voilà... (en gros on aurait une suite du genre u_n = 1/n puis u_(n+1) = 1/2/(n+1), puis u(n+2) = 1/n+2, etc.)

Mais je vois pas comment expliciter une suite u_n tel que v_n = u_(n+1) - u_(n).

Un = somme de k=0 jusqu'à n de Vk convient.
Rappelle juste que pour une suite An, poser Bn= An+1-An revient à faire une dérivée, et l opération inverse de la dérivation dans ce cas discret est l intégrale discrète, donc la somme.

Le 14 novembre 2016 à 20:23:14 Limitx a écrit :
Un = somme de k=0 jusqu'à n de Vk convient.
Rappelle juste que pour une suite An, poser Bn= An+1-An revient à faire une dérivée, et l opération inverse de la dérivation dans ce cas discret est l intégrale discrète, donc la somme.

Ce serait pas Un = somme de k=2 jusqu'à n-1 de Vk ? Comme ça : u_(n+1)-u_(n) = somme de k=2 jusqu'à n de Vk - somme de k=2 jusqu'à n-1 de Vk = v(n). Sinon on trouve u_(n+1)-u_n = v_(n+1) je crois.

Mais bon ça avance à rien du tout pour dire si la série de terme général v_n converge et sa valeur (contrairement à la DES), non ? Donc pourquoi on nous demanderait ça ?

Ah oui faut juste faire gaffe à l indexation et au premier terme.

Et dans ce cas précis tu as équivalence entre la série des vn converge et un tend vers l, et en cas de convergence, la somme des vn pour n allant de 0 à + inf est tout simplement l-u0 par téléscopage.