Bonjour,

Bon, cette fois j'ai un peu de mal avec la fin d'un exo, donc je poste ici en espérant que quelqu'un puisse m'aider !

J'ai montré que :

$$en! = 2q_n+(n+1)+\frac{1}{n+1}+\frac{exp(c_n)}{(n+1)(n+2)} $$

avec c_n appartenant à ]0;1[ et q_n un naturel.

Et maintenant on veut montrer que :

$$\sum_{n} sin(\pi \times en!)$$ est semi-convergente.

J'ai d'abord essayé de montrer qu'elle était convergente (pour ensuite montrer qu'elle n'est pas absolument convergente). J'ai donc essayé de dire :

On a $u_n = sin(\pi \times en!) = sin((2q_n+n+1) \times \pi + \pi \times (\frac{1}{n+1}+\frac{exp(c_n)}{(n+1)(n+2)}))$

Sauf qu'après je suis bloquée, j'ai essayé d'utiliser les formules de trigonométrie mais j'ai l'impression que c'est encore pire, et sinon aucun critère de base (en tout cas j'ai l'impression) marche. Juste, je vois bien que sin(pi*(2q_n+n+1)) = 0, et pi(1/(n+1)+exp(c_n)/(n+1)(n+2)) tend vers 0.

Vous avez des idées vous ?

Juste, en utilisant les formules de trigo, j'arrive à :

$$u_n = sin(\pi(\frac{1}{n+1}+\frac{exp(c_n)}{(n+1)(n+2)}))cos((2q_n+n+1)\pi)$$

et comme cos(((2q_n+n+1)\pi)) = (-1)^(n+1) si je ne me trompe pas, on peut peut-être partir de ça non ?

Bon, donc en fait je suis partie de là pour ensuite montrer avec le critère de Leibniz (comme sin(pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2)) est positif, décroissant dans un voisinage de +inf et que sa limite vaut 0) que la série de terme générale u_n converge.

De même, on a sin(pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2)) ~ pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2)

D'où, |u_n| ~ pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2)

et comme somme de pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2) diverge, on a par critère de comparaison (comme u_n et pi*1/(n+1)+e^c_n/(n+1)(n+2) sont positif) que la série de terme général |u_n| diverge.

Si je me suis pas trompée, je pense que ça doit être quelque chose comme ça !

T'es une fille?

Oui, pourquoi ?

T'as trouvé l'essentiel des idées, en gros ta série se réduit asymptotiquement à l'étude de $\frac{(-1)^n}{n}$ (à un reste absolument convergent près, car de l'ordre de $\frac{1}{n^2}$ avec un DL du sinus) dont la semi-convergence est connue. Y'a plus qu'à rédiger proprement les détails.

Okay, merci Hachino !