Salut,

je me suis rendu compte que la commutativité de la multiplication chez les entiers (et encore pire sur les rationnels) n'était pas naturelle dans la tête de mes élèves.

Et en réalité en y réfléchissant, j'ai l'impression de les comprendre. Qu'est-ce qui la rend si naturelle cette commutativité?

3 × 10 = 10 + 10 + 10
10 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

pourquoi ces résultats seraient-ils égaux? En bref, vous expliqueriez ça comment à un jeune de 4ème?

Bien sûr on peut faire des dessins, manipuler artificiellement les additions, mais je me rends compte que j'avais dans ma tête toujours considérée cette commutativité par presque axiomatique alors qu'elle semble loin de l'être.

D'ailleurs, est-ce que 3 × 10 c'est 10 + 10 + 10 ou 3 + 3 + 3 + ... + 3 ?

C'est un axiome non?

Higgs, dans quel système axiomatique? Il faudrait vérifier mais il me semble que dans l'axiomatique de peano ce n'en est pas un par exemple.

Pour l'expliquer aux élèves, dessine une grille rectangulaire de 3x10 cases et suivant que tu comptes en lignes ou en colonnes, ça fera 3x10 ou 10x3 cases.

Pour le prouver formellement, en définissant nxm par récurrence sur n (0xm = 0 et (n+1)xm = m + nxm, tu fais une preuve par récurrence sur n, et tu vas avoir besoin de dire que nx(m+1)=nxm+n, qui de prouve aussi par récurrence (sur n aussi).

Ah et y'a aussi une troisième récurrence dans le cas de base pour montrer que nx0=0

Ok AlphaCygni, la grille c'est certainement le plus visuel et le plus convaincant mais j'ai l'impression que ça reste artificiel.

Imaginons la simple question "Pourquoi donner 3€ à 10 personnes est équivalent à donner 10€ à 3 personnes?", la venue de la grille passerait mal auprès des élèves (d'ailleurs ce n'est pas immédiatement ce à quoi je penserai moi aussi).

La preuve par récurrence a l'avantage de n'utiliser aucune interprétation de la multiplication, mais pour le coup ce serait certainement trop abstrait à ce niveau.

En fait je pense pas vraiment qu'il y ait de réponse à ma question, je crois juste que je peux conclure de mes réflexions sur le sujet que la commutativité est loin d'être "évidente" contrairement à ce que j'avais en tête, du coup je vais faire gaffe à l'avenir de pas faire comme si ça coulait de source. D'ailleurs je viens de lire la preuve qu'en fait Euclide et même si c'est très fondamental, ça paraît moins naturel que d'autres de ses preuves.

Oui je pense aussi que c'est juste non trivial comme résultat.

Pourquoi la grille ne te convient pas pour des euros ? Tu dessines une pièce de 1€ dans chaque case et soit tu donnes une colonne par personne, soit une ligne par personne.

C'est plus difficile de se représenter par exemple :

3.e = e.3

je trouve

La recurrence sans recurrence (elleest cachee ):

k'*k = (1+1+...)} k fois + (1+1+...)} k fois .....+ (1+1+...)} k fois }} k' fois
= (1+1...+1)}k' fois
+ (1+1+...)-1} k fois + (1+1+...)-1} k fois .....+ (1+1+...)-1} k fois }} k' fois
=(1+1...+1)}k' fois
+ (1+1+...)} k-1 fois + (1+1+...)} k-1 fois .....+ (1+1+...)} k-1 fois }} k' fois
en refaisant la meme chose a la deuxieme partie du membre:
=(1+1...+1)}k' fois + (1+1...+1)}k' fois
+ (1+1+...)} k-2 fois + (1+1+...)} k-2 fois .....+ (1+1+...)} k-2 fois }} k' fois
aussi en reiterant k fois:
=(1+1...+1)}k' fois + (1+1...+1)}k' fois ...+ (1+1...+1)}k' fois }k fois
+ (1+1+...)} k-k fois + (1+1+...)} k-k fois .....+ (1+1+...)} k-k fois }} k' fois
= (1+1...+1)}k' fois + (1+1...+1)}k' fois ...+ (1+1...+1)}k' fois }k fois
= k*k'

Je pense que tu l'auras compris a moin que t'es une classe de surdoues tu laisses tombe