Je me posais une question, si on a une application f de [[1,n]] dans lui même, bijective, sans point fixe à quelle cns a-t-on f^p = id pour un certain p ?
Si on part de n'importe quel x on peut toujours trouver un r tel que f^r(x) = x (car il y a un nombre fini d'éléments et on peut jamais tomber sur un point fixe), si r = n alors f^k(x) parcourt [[1,n]] tout entier donc f^n(y) = f^n(f^i(x)) = f^i(x) = y
Sinon ça veut dire qu'on peut trouver un (plus petit) k tel que f^k(x) = x, du coup on peut prendre un y qui n'est pas dans {f^i(x) , i € [[1,k]]} et trouver aussi un plus petit k' tel que f^k'(y) = y. Si k n'est pas multiple de k' ou vice versa f^p = id est impossible
Du coup une cns ce serait que pour tout x dans [[1,n]] tous les i tels que f^i(x) = x soient de la forme r*k ?

Tu peux utiliser le fait que f se décompose de manière unique en produit de cycles à supports disjoints.

ah je connaissais pas merci, du coup les cycles doivent tous être multiples d'un même entier ?

Si tu connaissais pas je sais pas s'il convient de l'utiliser.
Mais sinon c'est pas ça : pour que f^p=id, il faut et il suffit que la longueur de tous les cycles en question divise p. La contrainte "sans point fixe" revient quant à elle à dire qu'il n'y a pas de cycle de longueur 1.

ah oui si p est donné tu as raison.
en fait j'ai mal posé la question, c'est plutot à quelle condition nécessaire et suffisante il existe un p tel que f^p = id que je cherchais

Ce p existe toujours vu que f^(n!)=id.

ah ouais effectivement, merci

c'est toujours vrai par le petit theoreme de lagrange.

Si tu le connais pas il dit entre autre que dans un groupe (ici le n'ieme groupe symetrique):
pour tout x dans le groupe x^|card groupe| = 1
Ce qui ici nous donne pour tout f: f^n! = id

Sinon tu peux aussi remarquer que soit f et x fixe, k tq f^k(x) = x (un tel k existe toujours obv) alors pour tout lk multiple de k: f^lk(x) = f^k * f^k....*f^k(x) = x. Aussi en appelant E_x l'ensemble des k decrit precedemment dependant de x, E_x est stable par multiplication externe. Prenons un k_x dans chacun des E_x. Alors soit M= PPCM {k_x, x dans [1,n]},c'est un multiple de k_x pour tout x donc dans chacun des E_x donc f^M(x)= x et donc f^M = id.

En prenant les k_x minimum dans E_x obtient t'on alors M minimum tel que f^M = Id, je doute

ouais je suis con en fait fallait juste que je considère le produit de toutes les longueurs des cycles pour trouver un tel p

sinon je connaissais pas le th de lagrange, j'ai jamais fait d'algèbre
mais c'est intéressant merci de l'info