Salut,

Je galère à l'exo suivant :

Exercice 1.
Dans un grand magasin, l’étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis
d’établir, pour chaque client se présentant à une caisse, les probabilités suivantes :
PX 0
Y 0 0,4 , PX 0
Y 1 0,3 ,
PX 1
Y 0 0,2 et PX 1
Y 1 0,1
où X représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à
50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et Y la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est réglée par
carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
Un client se présente à une caisse.
1) Déterminer les lois de X et Y et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire est
égale à p 0,6.
2) Calculer la covariance du couple
X,Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3) Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le
client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?

Question 1) je n'arrive pas à déterminer les X et Y je vois le tableau et j'arrive à voir que la probabilité que le client règle par CB est de 0,6 mais je bloque à la détermination des lois.

Chaque case du tableau te donne des petits bouts de probas/de lois de X et Y, maintenant faut recolle les morceaux si tu veux voir une seule v.a. à la fois. Et ce recollement, on l'appelle la "formule des probabilités totales". Un exemple simple : la proba que X vaille 0 se retrouve en connaissant la proba que X vaille 0 et que Y prenne toutes ses valeurs (qui se trouvent ici être 0 et 1 selon qu'on paye par CB ou non). Par le calcul, on obtient donc

P(X = 0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y = 1) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

T'as plus qu'à finir.

Bernoulli ...

Le 30 octobre 2016 à 12:18:56 HaswellRefresh a écrit :
Salut,

Je galère à l'exo suivant :

Exercice 1.
Dans un grand magasin, l’étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis
d’établir, pour chaque client se présentant à une caisse, les probabilités suivantes :
P (X= 0 inter
Y =0) = 0,4 , P(X =0
inter Y =1)= 0,3 ,
P(X =1 inter
Y=0)= 0,2 et P(X=1 inter
Y=1)= 0,1
où X représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à
50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et Y la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est réglée par
carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
Un client se présente à une caisse.
1) Déterminer les lois de X et Y et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire est
égale à p 0,6.
2) Calculer la covariance du couple
X,Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3) Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le
client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?

Question 1) je n'arrive pas à déterminer les X et Y je vois le tableau et j'arrive à voir que la probabilité que le client règle par CB est de 0,6 mais je bloque à la détermination des lois.

Le 30 octobre 2016 à 12:25:20 Hachino a écrit :
Chaque case du tableau te donne des petits bouts de probas/de lois de X et Y, maintenant faut recolle les morceaux si tu veux voir une seule v.a. à la fois. Et ce recollement, on l'appelle la "formule des probabilités totales". Un exemple simple : la proba que X vaille 0 se retrouve en connaissant la proba que X vaille 0 et que Y prenne toutes ses valeurs (qui se trouvent ici être 0 et 1 selon qu'on paye par CB ou non). Par le calcul, on obtient donc

P(X = 0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y = 1) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

T'as plus qu'à finir.

Mais t'es censé obtenir quoi à la fin un nombre ou une expression ?
pour P(Y=0) j'obtiens 0,6 faut faire aussi pour P(X=1) et P(Y=1) ? tu fais quoi de toutes ces quantités ?

Ben avec ça tu peux reconstruire les lois de X et Y, c'est un début.

J'ai P(X=1)=0,3
et P(Y=1)=0,4

Tu procèdes comment au recollement ? y'a pas une histoire de X(oméga) et Y(oméga) mais je comprends vraiment pas.

Le "recollement" dont je parlais (un terme fait pour guider l'intuition et qui n'a rien de rigoureux), tu viens de l'utiliser pour calculer P(X=1) et P(Y=1).

Je le vois bien khey mais le lien avec la loi de X et Y ?

Déterminer la loi c'est déterminer les P(X = ... ). En l'occurrence t'as une loi de Bernoulli puisque X ne prend que les valeurs 0 et 1. Donc trouver la loi de X revient à calculer P(X = 1) (ou P(X = 0), l'un se déduisant de l'autre).

Bah j'ai P(X=1)= 0,3 si ça c'est p, n vaut quoi alors ?

Y'a pas de n, une loi de Bernoulli n'a qu'un paramètre.

Ah ok enfin bon je vous dis au cas où
Alors pour pour X j'ai :
P(X=k) = p = 0,3 si k =1
P(X=k) = 1-p = 0,7 si k=0

Pour Y :
P(Y=k) = p = 0,4 si k=1
P(Y=k)= 1-p= 0,6 si k=0

C'est ça ?

Oui c'est ça.

Cimer

Question, on me demande la covariance. C'est cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
Si X,Y sont indépendants E(XY)=E(X)E(Y) mais s'ils ne le sont pas comment on calcule E(XY) ?

Z = XY est une variable aléatoire qui vaut 0 ou 1. Elle suit donc une loi de Bernoulli, et donc son espérance est P(Z = 1). Or Z = 1 <=> X = 1 et Y = 1.
Donc E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = 0.1.

ok merci, c'est plus simple j'étais parti pour utiliser la formule des sommes je retombe sur le même résultat à savoir P(X=1 inter Y=1) = 0,1 (les autres termes s'annulent)
Ca doit être chiant à faire sur des tableaux plus grands.