Bonsoir,

Bon, j'ai encore une question ! Voici l'énoncé : Montrer que si E est infini et A est une partie dénombrable de E telle que E\A est infini, alors E a même cardinal que E \A (indication: utiliser une partie dénombrable de E\A).

Voici ce que j'ai fais :
On a : A={a1,a2,...,aN} avec N un entier naturel car A dénombrable.
Posons X une partie dénombrable de E\A avec Card(X) = Card(A). Donc X={x1,x2,...,xN}.

De plus, on a : Card(E\A) <= Card(E).
Il suffit donc de trouver une injection de Card(E) sur Card(E\A) pour montrer Card(E) = Card(E\A) (ou une surjection de E\A dans E).
(bon si je trouve une bijection ça me va aussi )

J'ai essayé plusieurs trucs, mais à chaque fois ça donne rien. Par exemple :

f : E ---> E\A
x ---> x_i si x=a_i (avec 1<=i<=N) et x sinon

mais ça va pas car évidemment on a f surjective mais pas injective (les x_i ont deux antécédents). En gros j'aurais voulu que pour les x_i, on les envoi à x_(N+i), mais bon c'est un peu brouillon. J'aurais aimé savoir si je partais dans la mauvaise direction, et si oui comment vous feriez vous ?

J'avoue que la tout ce qui touche à la cardinalité, surtout d'ensembles infinis, c'est un peu casse couille.

Euh tu confonds pas dénombrable et fini ?

Tu veux dire quand je dis : A={a1,a2,...,aN} avec N un entier naturel car A dénombrable ? (pareil pour X)

Je voulais juste indexer les éléments de A par des entiers naturels, en fait. C'est faux effectivement ce que j'ai écris, mais je veux plutôt dire que j'indexe les éléments de A par des entiers naturels (pareil pour X) (donc A={a_1,a_2,...,a_n}). Mais du coup ce que j'ai écris après n'a plus trop de sens.

Soit A = {x1,x2,...} une partie dénombrable infinie de E telle que E-A est infini.
Soit B une partie dénombrable infinie de E-A, B = {y1,y2,...}.
Soit f : E -> E-A telle que f(x) = x si x appartient à E-(A U B), f(y1) = y1, f(x1) = y2, f(y2) = y3, f(x2) = y4... etc.
f est bien une injection si jeunes m'abusent.
Et si A est fini le résultat est a fortiori vrai.

Tu peux indexer A sauf que là tu le considère comme étant constitué de N éléments ce qui n'est pas le cas
Écrit juste A= {a_i}i€N

Okay, merci à vous deux. Juste Prauron, elle est injective ça d'accord (et c'est suffisant), elle est de plus bijective non ?

Sinon merci beaucoup de l'aide !

En effet elle est aussi surjective.

D'accord, merci. Je pense effectivement qu'à la base j'ai confondu la notion d'ensemble fini et d'ensemble dénombrable. Mais maintenant c'est bon, merci !

En fait "dénombrable" c'est un peu ambigu. Pour certaines personnes ça veut dire "de même cardinal que N" (donc infini), et d'autres incluent les ensembles finis dans les ensembles dénombrables. C'est pour ça que je préfère préciser "infini dénombrable".

E/A=F (je suis sur portable c est plus rapide que d écrire les backslashs)
F infini donc contient un B infini dénombrable(que j abrége en dénombrable dans la suite)
AUB est dénombrable car union de dénombrables
Donc il existe phi de B dans AUB bijective
Soit f application de F dans E définie par f(x)=phi(x) pour x dans B et l identité sinon.
Elle est surjective (car pour y dans E soit il est dans AUB et donc antécédent qui existe et dans B soit c est dans le complémentaire de AUB dans E et donc son antécédent est lui même. )
F dans E donc F et E équipotent voilà

Le 26 octobre 2016 à 23:58:35 Prauron a écrit :
En fait "dénombrable" c'est un peu ambigu. Pour certaines personnes ça veut dire "de même cardinal que N" (donc infini), et d'autres incluent les ensembles finis dans les ensembles dénombrables. C'est pour ça que je préfère préciser "infini dénombrable".

J'ai vérifié dans mon cours, et c'est c'est bien marqué qu'un ensemble dénombrable sera ici considéré comme un ensemble en bijection avec l'ensemble N. Donc je préfère rester sur cette définition pour faire mes exos, mais c'est vrai que pendant un moment j'ai aussi inclus les ensembles finis.

d'autres incluent les ensembles finis dans les ensembles dénombrables.

La notation pour ça au programme de spé est "au plus dénombrable", qui inclut les deux .