Bonjour.

Quelle est la solution de cette équation différentielle : -2y' + 5y = e^2x

Merci d'avance

Salut, il y a une méthode assez rapide pour résoudre ce genre de problème :
-2y' + 5y = e^2x <=> y'*exp(-5x/2) - 5/2y*exp(-5x/2) = -exp(-x/2)/2
<=> d/dx [y*exp(-5x/2)] = -exp(-x/2)/2
<=> y*exp(-5x/2) = exp(-x/2) + C
<=> y = exp(2x) + C exp(5x/2)

Enfin, si j'ai pas fait d'erreur de calcul, ce qui peut arriver quand on le fait en tapant sur un forum.
En tout cas, avec cette méthode synthétiques, il n'y a que deux difficultés potentielles :
_Trouver le facteur intégrant, c'est à dire la fonction par laquelle multiplier notre équation pour obtenir la dérivée d'un produit dans le membre de gauche. Pour faire ça, il suffit de s'assurer qu'il n'y a pas de coefficient devant le terme de degré 1 et ensuite prendre comme facteur exp(F(x)) avec F une primitive du coefficient devant le terme de degré 0.
_Primitiver le membre de droite.

Vérifie quand même mes calculs, je ne les ai pas relus.

Le 26 octobre 2016 à 15:31:13 Dagnyr a écrit :
Salut, il y a une méthode assez rapide pour résoudre ce genre de problème :
-2y' + 5y = e^2x <=> y'*exp(-5x/2) - 5/2y*exp(-5x/2) = -exp(-x/2)/2
<=> d/dx [y*exp(-5x/2)] = -exp(-x/2)/2
<=> y*exp(-5x/2) = exp(-x/2) + C
<=> y = exp(2x) + C exp(5x/2)

Enfin, si j'ai pas fait d'erreur de calcul, ce qui peut arriver quand on le fait en tapant sur un forum.
En tout cas, avec cette méthode synthétiques, il n'y a que deux difficultés potentielles :
_Trouver le facteur intégrant, c'est à dire la fonction par laquelle multiplier notre équation pour obtenir la dérivée d'un produit dans le membre de gauche. Pour faire ça, il suffit de s'assurer qu'il n'y a pas de coefficient devant le terme de degré 1 et ensuite prendre comme facteur exp(F(x)) avec F une primitive du coefficient devant le terme de degré 0.
_Primitiver le membre de droite.

Vérifie quand même mes calculs, je ne les ai pas relus.

Merci, mais j'ai pas compris la première ligne de calcul

ESSM : -2y' + 5y =0
dy/y = 5/2dx
ln(y) = 5/2x + cste
y = exp(5/2x + cste)
y = K * exp(5/2x)

EASM : -2y' + 5y = exp(2x)
y = K(x) * exp(5/2x)
y' = K'(x) * exp(5/2x) + K(x) * 5/2 * exp(5/2x)
Tu remplaces dans l'EASM
-2 K'(x) * exp(5/2x) - 2 * 5/2 * K(x) exp(5/2x) + 5 * K(x) * exp(5/2x) = exp(2x)
K'(x) = -1/2 exp(-1/2x)
K(x) = exp(-1/2x)
y = exp(-1/2x) * exp(5/2x) = exp(2x)

SOLUTION GENERALE
y = ESSM + EASM = K * exp(5/2x) + exp(2x)

Avec les CI tu détermines K

Perso je me souviens simplement que les solutions de y' = a(t)y sont les K*exp(A(t)) avec A une primitive de a.
Après variation de la constante pour trouver une solution particulière.

Merci les gars