Bonjour,

Je me permets encore de vous embêter un peu avec mes questions.

Voici l'exo :

Soit f : ]0;1[ -> R croissante et telle que l'intégrale : $$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x$$ converge. Montrer que :
$$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f(\frac{k}{n}) = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x$$$

Donc j'ai bien dis que f est croissante donc pour tout k de {1,...,n-1}, on a : $$\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \displaystyle \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) \, \mathrm{d}t $$

Sauf que je dois montrer :
$$\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \frac{1}{n}f(\frac{k}{n}) \leq \displaystyle \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) \, \mathrm{d}t $$

Après tout est ok, il suffit de sommer terme à terme de k=1 à n-1, mais je vois pas pourquoi on a 1/n*f(k/n) entre les deux intégrales... Ca a l'air bête, d'autant que ça paraît logique mais pas moyen de voir pourquoi on a ça...

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance !

Fais un dessin ça te paraitra beaucoup plus clair je pense,

Sinon bah dans ton intégrale de gauche pour tout $t$ t'as $f(t) \leq f(\frac k n)$ car $f$ est croissante, donc le tout est bien inférieur à $\frac 1 n f(\frac k n)$

Ca viendrait pas de l'inégalité des accroissements finis ? En majorant f(c) (c appartenant à [k-1/n;k/n] pour la première et [k/n;(k+1)/n] pour la seconde ? Du coup la majoration comme f croissante, ce serait f(c) < f(k/n) pour la première, okay. Mais pour la seconde faudrait minorer ? en donc minorer par f(k/n), c'est ça ?

Okay, en fait c'est bon, j'ai compris ! Merci pour l'aide StrandedHorse !

Oui ici c'est pareil que l'inégalité des accroissements finis, tu inscris juste une aire dans un rectangle en fait

Ca marche, j'ai compris l'idée ! Merci beaucoup !