Bonsoir, j'essaye de faire l’exercice suivant :

Soient p, q deux nombres premiers. Pour quels valeurs de p et q a-t-on Q(√p) ⊂ Q(3√q) (où 3√q c'est la racine cubique de q)

Bon je sais √p et 3√q sont algébriques sur Q, donc il me reste à vérifier pour quel valeur de p et q on peut écrire √p comme un élément de Q(3√q) ? C'est bien ça ?
D'ailleurs je me doute que p=q=2

Merci de votre aide

Je crois bien que oui

Le 12 octobre 2016 à 21:25:28 Limitx a écrit :
Je crois bien que oui

Ouais mais j'arrive pas à écrire √2 = a +b*3√2 + c*(3√2)²

Ah non je parlais pour la méthode, la réponse j en sais rien

De tête met au carré la relation cherchée pour p et q et regarde de ce qui se passe.

Je crois que ça donne rien j'ai essayé plusieurs calcule, de toute façons j'ai Algébre demain je verrais bien avec quelques potos

Si t'es en MP* je te souhaite bonne souffrance (:hap:) et merci

Salut, tu vas avoir du mal à mettre une racine carrée dans un corps défini par une racine cubique.
Un argument sur la dimension des extensions permet de s'en rendre compte.
Genre, si tu prends $q$ un rationnel tel que $\sqrt[3]{q}$ n'est pas un rationnel, le polynôme $X^3 - q$ est clairement irréductible, donc $\sqrt[3]{q}$ est de degré 3.
Ainsi, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{q})$ est de dimension 3 sur $\mathbb{Q}$.
Mais s'il contient $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ qui est de dimension 2, quelle peut-être la dimension de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{q})$ sur $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ?
Sachant que $dim_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{q}) = dim_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt{p}) *dim_{\mathbb{Q(\sqrt{p})}} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{q})$, il n'y a pas de solution donc cette configuration est impossible.

C'est vraiment trop bien, la théorie des corps.

Espèce d'algébriste.