Salut

Est-ce qu'il y aurait un moyen simple d'étudier les variations de $ln(\frac{e^{x}-1}{x})$ ? Le signe de la dérivée n'est pas simple à étudier non plus (j'ai l'impression qu'il faudrait étudier les variations des dénominateur et numérateur de la dérivée pour trouver le signe, ça a l'air un peu fastidieux...)

Donc, est-ce que j'aurais loupé quelque chose qui facilite l'étude ?

la fonction dans l'intégrande est strictement croissante, donc idem pour le log de cette fonction...

Mais comment tu justifies qu'elle l'est ? Comment tu justifies que (x-1)e^x +1 est toujours positif ?

je suis passé par une fonction auxiliaire, si tu étudies justement la dérivée de ladite fonction tu vas voir qu'elle change de signe en 1/2, puis que la fonction est positive, donc tu remontes au dessus etc

Ah mais en dérivant une seconde fois ça devient super simple en fait