Bonjour j'aimerais savoir si il y moyen de simplifier l'equation (6x-4)/(2+x) sous forme de polynôme pour pouvoir étudier ces variations ? Ou si vous connaissez une autre méthode pour étudier la variation de cette équation je prend aussi.

Merci.

faire apparaitre (2-x) au numérateur: 6x-4 = (x+2)*6-16

donc (6x-4)/(2+x) = 6-16/(x+2), expression dont les variations sont faciles à étudier

Tu dérives la fonction, tu fais le tableau de signes.

Blue pourrais-tu me dire d'ou viennent le 6-16 s'il te plait ?

Tout-Puissant j'ai déja essayer avec cette forme mais je trouve f'(x) = 6 et donc je ne sais pas quoi faire de cette dérivé ensuite.

Tu poses :
u(x) = 6x-4
u'(x) = 6
v(x) = 2+x
v'(x) = 1

f'(x) = (u'(x).v(x) - v'(x).u(x)) / v(x)²
= (6(2+x) - (6x-4)) / (2+x)²
= 16 / (2+x)²

Après tu sais faire

Ok merci bien, je pense pouvoir me débrouiller avec ça

J'ai bien saisi ton explication mais une fois arrivé à 16/(2+x)² j'en déduis que f est positif car il y a la présence du carré donc x>0 ? Si cela est vrai comment je pourrais aussi dire que x>2 ?

Non. Tu déduis que f est strictement croissante
Il te faut étudier les limites de f lorsque :
x -> -infini ça donne 6
x -> -2 et x < -2 ça donne +infini
x -> -2 et x > -2 ça donne -infini
x -> +infini ça donne 6

Un tableau de signe c'est pas compliqué...

Si tu veux connaitre pour quel valeur de x, f(x) > 0 tu dois résoudre
(6x-4)/(2+x) > 0
Et tu trouves x > 2/3

Donc S = ]-infini ; -2[ u ]2/3 ; +infini[